حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 \sin (x - 0.5) + 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 \sin (x - 0.5)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x - 0.5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 0.5$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 0.5$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 0.5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.2.5

بما أن $- 0.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 0.5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.2.6

أضف $1$ و $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.2.7

اضرب $\cos (x - 0.5)$ في $1$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + \frac{d}{d x} [11]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $- 4 \cos (x - 0.5)$ و $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 \cos (x - 0.5)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x - 0.5)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (x - 0.5)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x - 0.5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 0.5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 0.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 0.5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + 0)$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) \cdot 1$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $4$ في $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $\cos (x - 0.5)$ على $1$ .

$\cos (x - 0.5) = \frac{0}{- 4}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $0$ على $- 4$ .

$\cos (x - 0.5) = 0$

خطوة 5

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x - 0.5 = \arccos (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{π}{2}$

خطوة 7

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $0.5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = \frac{π}{2} + 0.5$

خطوة 7.2

أضف $\frac{π}{2}$ و $0.5$ .

$x = 2.07079632$

خطوة 8

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x - 0.5 = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 9.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x - 0.5 = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 9.1.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x - 0.5 = \frac{3 π}{2}$

خطوة 9.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $0.5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = \frac{3 π}{2} + 0.5$

خطوة 9.2.2

أضف $\frac{3 π}{2}$ و $0.5$ .

$x = 5.21238898$

خطوة 10

حل المعادلة $x - 0.5 = \frac{π}{2}$ .

$x = 2.07079632, 5.21238898$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2.07079632$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$4 \sin ((2.07079632) - 0.5)$

خطوة 12

اطرح $0.5$ من $2.07079632$ .

$4 \sin (1.57079632)$

خطوة 13

$x = 2.07079632$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 2.07079632$ هي حد أدنى محلي

خطوة 14

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 2.07079632$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.07079632$ في العبارة.

$f (2.07079632) = - 4 \sin ((2.07079632) - 0.5) + 11$

خطوة 14.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اطرح $0.5$ من $2.07079632$ .

$f (2.07079632) = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

خطوة 14.2.2

الإجابة النهائية هي $- 4 \sin (1.57079632) + 11$ .

$y = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 5.21238898$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$4 \sin ((5.21238898) - 0.5)$

خطوة 16

اطرح $0.5$ من $5.21238898$ .

$4 \sin (4.71238898)$

خطوة 17

$x = 5.21238898$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 5.21238898$ هي حد أقصى محلي

خطوة 18

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 5.21238898$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5.21238898$ في العبارة.

$f (5.21238898) = - 4 \sin ((5.21238898) - 0.5) + 11$

خطوة 18.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اطرح $0.5$ من $5.21238898$ .

$f (5.21238898) = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

خطوة 18.2.2

الإجابة النهائية هي $- 4 \sin (4.71238898) + 11$ .

$y = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

خطوة 19

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$ .

$(2.07079632, - 4 \sin (1.57079632) + 11)$ هي نقاط دنيا محلية

$(5.21238898, - 4 \sin (4.71238898) + 11)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 20