حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} \cos (2 x) - 1$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.7

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.8

اجمع $\frac{- 2}{2}$ و $\sin (2 x)$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.9

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sin (2 x)$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \sin (2 x)}{1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.9.2.4

اقسِم $- \sin (2 x)$ على $1$ .

$- \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \sin (2 x) + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $- \sin (2 x)$ و $0$ .

$- \sin (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) \cdot 1$

خطوة 2.3.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \sin (2 x) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $- \sin (2 x) = 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $- \sin (2 x) = 0$ على $- 1$ .

$\frac{- \sin (2 x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sin (2 x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 4.2.2

اقسِم $\sin (2 x)$ على $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 1}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$\sin (2 x) = 0$

خطوة 5

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$2 x = 0$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 8

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$2 x = π - 0$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 x = π + 0$

خطوة 9.1.2

أضف $π$ و $0$ .

$2 x = π$

خطوة 9.2

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 9.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 10

حل المعادلة $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \cos (2 (0))$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $2$ في $0$ .

$- 2 \cos (0)$

خطوة 12.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 12.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 13

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (0)) - 1$

خطوة 14.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \cos (0) - 1$

خطوة 14.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 1 - 1$

خطوة 14.2.1.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2} - 1$

خطوة 14.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 14.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 14.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (0) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 14.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (0) = \frac{1 - 2}{2}$

خطوة 14.2.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f (0) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 14.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (0) = - \frac{1}{2}$

خطوة 14.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \cos (2 \frac{π}{2})$

خطوة 16.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \cos (π)$

خطوة 16.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- 2 (- \cos (0))$

خطوة 16.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 16.4

اضرب $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

خطوة 16.4.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2$

خطوة 17

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 18

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (\frac{π}{2})) - 1$

خطوة 18.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (\frac{π}{2})) - 1$

خطوة 18.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (π) - 1$

خطوة 18.2.1.2

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (- \cos (0)) - 1$

خطوة 18.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) - 1$

خطوة 18.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot - 1 - 1$

خطوة 18.2.1.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1}{2} - 1$

خطوة 18.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} - 1$

خطوة 18.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 18.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 18.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 18.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 - 2}{2}$

خطوة 18.2.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 3}{2}$

خطوة 18.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{3}{2}$

خطوة 18.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

خطوة 19

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) - 1$ .

$(0, - \frac{1}{2})$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{π}{2}, - \frac{3}{2})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 20