حساب المثلثات الأمثلة

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 23 \\ c = \\ a = & 14 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 105 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

خطوة 1

يستند قانون الجيب إلى تناسب الزوايا مع الأضلاع المقابلة لها في المثلثات. ينص القانون على أنه بالنسبة إلى زوايا المثلث غير القائم، فإن كل زاوية في المثلث لها نفس نسبة قياس الزاوية إلى قيمة جيب الزاوية.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

خطوة 2

عوّض بالقيم المعروفة في قانون الجيب لإيجاد $A$ .

$\frac{\sin (A)}{14} = \frac{\sin (105)}{23}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $A$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $14$ .

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

خطوة 3.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $14 \frac{\sin (105)}{23}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (105)$ هي $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (75)}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.2

قسّم $75$ إلى زاويتين تُعرف بهما قيم الدوال المثلثية الست.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30 + 45)}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.3

طبّق متطابقة مجموع الزوايا.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (30)$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (30)$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.8

بسّط $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.8.1.1

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.8.1.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.8.1.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.8.1.2

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.8.1.2.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.8.1.2.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.8.1.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.8.1.2.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{23}$

خطوة 3.2.2.1.1.8.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{23}$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\sin (A) = 14 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23})$

خطوة 3.2.2.1.3

اضرب $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ في $\frac{1}{23}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 23}$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اضرب $4$ في $23$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

خطوة 3.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $14$ .

$\sin (A) = 2 (7) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

خطوة 3.2.2.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $92$ .

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

خطوة 3.2.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

خطوة 3.2.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$

خطوة 3.2.2.1.5

اجمع $7$ و $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46}$

خطوة 3.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $A$ من داخل الجيب.

$A = \arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$ .

$A = 36.01201213$

خطوة 3.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$A = 180 - 36.01201213$

خطوة 3.6

اطرح $36.01201213$ من $180$ .

$A = 143.98798786$

خطوة 3.7

حل المعادلة $A = 36.01201213$ .

$A = 36.01201213, 143.98798786$

خطوة 3.8

استبعِد المثلث غير الصحيح.

$A = 36.01201213$

خطوة 4

مجموع جميع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي $180$ من الدرجات.

$36.01201213 + C + 105 = 180$

خطوة 5

أوجِد قيمة $C$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $36.01201213$ و $105$ .

$C + 141.01201213 = 180$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $141.01201213$ من كلا المتعادلين.

$C = 180 - 141.01201213$

خطوة 5.2.2

اطرح $141.01201213$ من $180$ .

$C = 38.98798786$

خطوة 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

خطوة 7

عوّض بالقيم المعروفة في قانون الجيب لإيجاد $c$ .

$\frac{\sin (38.98798786)}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $c$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

احسِب قيمة $\sin (38.98798786)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

خطوة 8.1.2

احسِب قيمة $\sin (36.01201213)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{0.58795485}{14}$

خطوة 8.1.3

اقسِم $0.58795485$ على $14$ .

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$

خطوة 8.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$c, 1$

خطوة 8.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$c$

خطوة 8.3

اضرب كل حد في $\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ في $c$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب كل حد في $\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ في $c$ .

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $c$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

خطوة 8.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$0.62915744 = 0.04199677 c$

خطوة 8.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $0.04199677 c = 0.62915744$ .

$0.04199677 c = 0.62915744$

خطوة 8.4.2

اقسِم كل حد في $0.04199677 c = 0.62915744$ على $0.04199677$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

اقسِم كل حد في $0.04199677 c = 0.62915744$ على $0.04199677$ .

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

خطوة 8.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $0.04199677$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

خطوة 8.4.2.2.1.2

اقسِم $c$ على $1$ .

$c = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

خطوة 8.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.3.1

اقسِم $0.62915744$ على $0.04199677$ .

$c = 14.98108954$

خطوة 9

هذه هي نتائج إيجاد جميع زوايا وأضلاع المثلث المحدد.

$A = 36.01201213$

$B = 105$

$C = 38.98798786$

$a = 14$

$b = 23$

$c = 14.98108954$