حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = 2^{x - 1} + 1$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ في صورة معادلة.

$y = 2^{x - 1} + 1$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 2^{y - 1} + 1$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2^{y - 1} + 1 = x$ .

$2^{y - 1} + 1 = x$

خطوة 3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2^{y - 1} = x - 1$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (x - 1)$

خطوة 3.4

وسّع $\ln (2^{y - 1})$ بنقل $y - 1$ خارج اللوغاريتم.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (x - 1)$

خطوة 3.5

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط $(y - 1) \ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x - 1)$

خطوة 3.5.1.2

أعِد كتابة $- 1 \ln (2)$ بالصيغة $- \ln (2)$ .

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x - 1)$

خطوة 3.6

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x - 1) = 0$

خطوة 3.7

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أضف $\ln (2)$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (2) - \ln (x - 1) = \ln (2)$

خطوة 3.7.2

أضف $\ln (x - 1)$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$

خطوة 3.8

اقسِم كل حد في $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ على $\ln (2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اقسِم كل حد في $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ على $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

خطوة 3.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

خطوة 3.8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

خطوة 3.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

خطوة 3.8.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ هي معكوس $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (2^{x - 1} + 1)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1} + 0)}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.3.2

أضف $2^{x - 1}$ و $0$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

وسّع $\ln (2^{x - 1})$ بنقل $x - 1$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.4.2.2

اقسِم $x - 1$ على $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + x - 1$

خطوة 5.2.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x + 0$

خطوة 5.2.5.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$

خطوة 5.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

خطوة 5.3.3.2

أضف $0$ و $\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

خطوة 5.3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x - 1)} + 1$

خطوة 5.3.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x - 1 + 1$

خطوة 5.3.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

خطوة 5.3.5.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ هي معكوس $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$