حساب المثلثات الأمثلة

$z = 4 \sqrt{3} - 4 i$

خطوة 1

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 2

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 3

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = 4 \sqrt{3}$ و $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $4 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

خطوة 4.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $16$ في $3$ .

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

خطوة 4.3.2

أضف $16$ و $48$ .

$| z | = \sqrt{64}$

خطوة 4.3.3

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

خطوة 4.3.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 8$

خطوة 5

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4 \sqrt{3}})$

خطوة 6

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{- 4}{4 \sqrt{3}}$ ينتج زاوية في الربع الرابع، إذن قيمة الزاوية تساوي $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

خطوة 7

عوّض بقيمتَي $θ = - \frac{π}{6}$ و $| z | = 8$ .

$8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$

خطوة 8

استبدِل المتعادل الأيمن بالصيغة المثلثية.

$z = 8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$