حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 θ) + \sin (4 θ) = 0$

خطوة 1

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \sin (4 θ) = 0$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4 θ$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \sin (2 (2 θ)) = 0$

خطوة 1.1.3

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 2 (2 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) = 0$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 (\sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) = 0$

خطوة 1.1.5

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ)) = 0$

خطوة 1.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) = 0$

خطوة 1.1.7

اضرب $4$ في $1$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) = 0$

خطوة 1.1.8

اضرب $\sin (θ)$ في $\sin^{2} (θ)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1

انقُل $\sin^{2} (θ)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) \cdot - 2 = 0$

خطوة 1.1.8.2

اضرب $\sin^{2} (θ)$ في $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.2.1

ارفع $\sin (θ)$ إلى القوة $1$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) \cdot - 2 = 0$

خطوة 1.1.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) \cdot - 2 = 0$

خطوة 1.1.8.3

أضف $2$ و $1$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) \cdot - 2 = 0$

خطوة 1.1.9

اضرب $- 2$ في $4$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) - 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ) = 0$

خطوة 1.2

أضف $2 \sin (θ) \cos (θ)$ و $4 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$6 \sin (θ) \cos (θ) - 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ) = 0$

خطوة 2

أخرِج العامل $2 \sin (θ) \cos (θ)$ من $6 \sin (θ) \cos (θ) - 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $2 \sin (θ) \cos (θ)$ من $6 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 3 - 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ) = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $2 \sin (θ) \cos (θ)$ من $- 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 3 + 2 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ)) = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $2 \sin (θ) \cos (θ)$ من $2 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 3 + 2 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ))$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) (3 - 4 \sin^{2} (θ)) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$\cos (θ) = 0$

$3 - 4 \sin^{2} (θ) = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\sin (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\sin (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (θ) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (0)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$θ = 0$

خطوة 4.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$θ = π - 0$

خطوة 4.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$θ = π$

خطوة 4.2.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.6

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (θ) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (0)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 5.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 5.2.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $3 - 4 \sin^{2} (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $3 - 4 \sin^{2} (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 - 4 \sin^{2} (θ) = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $θ$ في $3 - 4 \sin^{2} (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- 4 \sin^{2} (θ) = - 3$

خطوة 6.2.2

اقسِم كل حد في $- 4 \sin^{2} (θ) = - 3$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 4 \sin^{2} (θ) = - 3$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

خطوة 6.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin^{2} (θ)$ على $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{- 3}{- 4}$

خطوة 6.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin^{2} (θ) = \frac{3}{4}$

خطوة 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

خطوة 6.2.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{3}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

خطوة 6.2.4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 6.2.4.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 6.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 6.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 6.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 6.2.6

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 6.2.7

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 6.2.7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.7.3

$θ = π - \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.7.4

بسّط $π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.7.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.7.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 6.2.7.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.4.3.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

خطوة 6.2.7.4.3.2

اطرح $π$ من $3 π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

خطوة 6.2.7.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.7.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.7.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.7.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.7.6

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6.2.8

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 6.2.8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ هي $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.8.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

خطوة 6.2.8.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

خطوة 6.2.8.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{4 π}{3}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

خطوة 6.2.8.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.8.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.8.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.8.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.8.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{3}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

خطوة 6.2.8.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.8.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.8.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 6.2.8.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.6.4.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

خطوة 6.2.8.6.4.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

خطوة 6.2.8.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = \frac{5 π}{3}$

خطوة 6.2.8.7

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6.2.9

اسرِد جميع الحلول.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6.2.10

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.10.1

ادمج $\frac{π}{3} + 2 π n$ و $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ في $\frac{π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6.2.10.2

ادمج $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ و $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ في $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 \sin (θ) \cos (θ) (3 - 4 \sin^{2} (θ)) = 0$ صحيحة.

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ادمج $2 π n$ و $π + 2 π n$ في $π n$ .

$θ = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.2

ادمج $\frac{π}{2} + 2 π n$ و $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ في $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.3

ادمج $π n$ و $\frac{π}{2} + π n$ في $\frac{π n}{2}$ .

$θ = \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$