حساب المثلثات الأمثلة

$g (x) = 4 \cos (2 x - π) - 2$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 \cos (2 x - π) - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \cos (2 x - π)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x - π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x - π$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - π$ .

$4 (- \sin (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - π$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.6

بما أن $- π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.7

اضرب $2$ في $1$ .

$4 (- \sin (2 x - π) (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.8

أضف $2$ و $0$ .

$4 (- \sin (2 x - π) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.9

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 (- 2 \sin (2 x - π)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.2.10

اضرب $- 2$ في $4$ .

$- 8 \sin (2 x - π) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 8 \sin (2 x - π) + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $- 8 \sin (2 x - π)$ و $0$ .

$- 8 \sin (2 x - π)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 \sin (2 x - π)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - π)]$ .

$g'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \sin (2 x - π)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x - π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x - π$ .

$g'' (x) = - 8 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$g'' (x) = - 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - π$ .

$g'' (x) = - 8 (\cos (2 x - π) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - π$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} (- π))$

خطوة 2.3.5

بما أن $- π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 + 0)$

خطوة 2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) \cdot 2$

خطوة 2.3.6.2

اضرب $2$ في $- 8$ .

$g'' (x) = - 16 \cos (2 x - π)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 8 \sin (2 x - π) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $- 8 \sin (2 x - π) = 0$ على $- 8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $- 8 \sin (2 x - π) = 0$ على $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (2 x - π)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 8 \sin (2 x - π)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $\sin (2 x - π)$ على $1$ .

$\sin (2 x - π) = \frac{0}{- 8}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $0$ على $- 8$ .

$\sin (2 x - π) = 0$

خطوة 5

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x - π = \arcsin (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$2 x - π = 0$

خطوة 7

أضف $π$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = π$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 9

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$2 x - π = π - 0$

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اطرح $0$ من $π$ .

$2 x - π = π$

خطوة 10.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أضف $π$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = π + π$

خطوة 10.2.2

أضف $π$ و $π$ .

$2 x = 2 π$

خطوة 10.3

اقسِم كل حد في $2 x = 2 π$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = 2 π$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

خطوة 10.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

خطوة 10.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

خطوة 10.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 π}{2}$

خطوة 10.3.3.1.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$x = π$

خطوة 11

حل المعادلة $2 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{2}, π$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 16 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 16 \cos (2 \frac{π}{2} - π)$

خطوة 13.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 16 \cos (π - π)$

خطوة 13.2

اطرح $π$ من $π$ .

$- 16 \cos (0)$

خطوة 13.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 16 \cdot 1$

خطوة 13.4

اضرب $- 16$ في $1$ .

$- 16$

خطوة 14

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) - 2$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) - 2$

خطوة 15.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (π - π) - 2$

خطوة 15.2.1.2

اطرح $π$ من $π$ .

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (0) - 2$

خطوة 15.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cdot 1 - 2$

خطوة 15.2.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$g (\frac{π}{2}) = 4 - 2$

خطوة 15.2.2

اطرح $2$ من $4$ .

$g (\frac{π}{2}) = 2$

خطوة 15.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$y = 2$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = π$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 16 \cos (2 (π) - π)$

خطوة 17

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اطرح $π$ من $2 π$ .

$- 16 \cos (π)$

خطوة 17.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- 16 (- \cos (0))$

خطوة 17.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 16 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 17.4

اضرب $- 16 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 16 \cdot - 1$

خطوة 17.4.2

اضرب $- 16$ في $- 1$ .

$16$

خطوة 18

$x = π$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = π$ هي حد أدنى محلي

خطوة 19

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π$ في العبارة.

$g (π) = 4 \cos (2 (π) - π) - 2$

خطوة 19.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1.1

اطرح $π$ من $2 π$ .

$g (π) = 4 \cos (π) - 2$

خطوة 19.2.1.2

$g (π) = 4 (- \cos (0)) - 2$

خطوة 19.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$g (π) = 4 (- 1 \cdot 1) - 2$

خطوة 19.2.1.4

اضرب $4 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$g (π) = 4 \cdot - 1 - 2$

خطوة 19.2.1.4.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$g (π) = - 4 - 2$

خطوة 19.2.2

اطرح $2$ من $- 4$ .

$g (π) = - 6$

خطوة 19.2.3

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$y = - 6$

خطوة 20

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $g (x) = 4 \cos (2 x - π) - 2$ .

$(\frac{π}{2}, 2)$ هي نقطة قصوى محلية

$(π, - 6)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 21