حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

خطوة 1

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب في $1$ .

$\cos (θ) \cdot 1 - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $- \tan (θ) \cos (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \tan (θ)) = 0$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \tan (θ))$ .

$\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \tan (θ) = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (θ) = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (0)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.2.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.2.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $1 - \tan (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $1 - \tan (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - \tan (θ) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $θ$ في $1 - \tan (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \tan (θ) = - 1$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $- \tan (θ) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \tan (θ) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \tan (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.2.2.2

اقسِم $\tan (θ)$ على $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\tan (θ) = 1$

خطوة 4.2.3

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$θ = \arctan (1)$

خطوة 4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.5

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = π + \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.6

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 4.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 4.2.6.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

خطوة 4.2.7

أوجِد فترة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 4.2.7.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 4.2.8

فترة دالة $\tan (θ)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$ صحيحة.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ادمج $\frac{π}{2} + 2 π n$ و $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ في $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6.2

ادمج $\frac{π}{4} + π n$ و $\frac{5 π}{4} + π n$ في $\frac{π}{4} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$ صحيحة.

$θ = \frac{π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$