حساب المثلثات الأمثلة

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) = \sqrt{2}$ , $[0, 2 π)$

خطوة 1

اطرح $\sqrt{2}$ من كلا المتعادلين.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

خطوة 2

حلّل $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2}$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد ترتيب الحدود.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 1) - \sqrt{2} (2 \cos (x) + 1) = 0$

خطوة 2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 \cos (x) + 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $2 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) = - 1$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{1}{2})$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.6

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 4.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $\sqrt{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 5.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 5.2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

خطوة 5.2.6

بسّط $2 π - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 5.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 5.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 5.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.3.1

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

خطوة 5.2.6.3.2

اطرح $π$ من $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

خطوة 5.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

أوجِد قيم $n$ التي ينتج عنها وجود قيمة في الفترة $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{π}{4} + 2 π (0)$

خطوة 7.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$\frac{π}{4} + 0 π$

خطوة 7.1.2.1.2

اضرب $0$ في $π$ .

$\frac{π}{4} + 0$

خطوة 7.1.2.2

أضف $\frac{π}{4}$ و $0$ .

$\frac{π}{4}$

خطوة 7.1.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 7.2

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

خطوة 7.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

خطوة 7.2.2.1.2

اضرب $0$ في $π$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

خطوة 7.2.2.2

أضف $\frac{2 π}{3}$ و $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

خطوة 7.2.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}$

خطوة 7.3

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{4 π}{3} + 2 π (0)$

خطوة 7.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$\frac{4 π}{3} + 0 π$

خطوة 7.3.2.1.2

اضرب $0$ في $π$ .

$\frac{4 π}{3} + 0$

خطوة 7.3.2.2

أضف $\frac{4 π}{3}$ و $0$ .

$\frac{4 π}{3}$

خطوة 7.3.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

خطوة 7.4

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{7 π}{4} + 2 π (0)$

خطوة 7.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$\frac{7 π}{4} + 0 π$

خطوة 7.4.2.1.2

اضرب $0$ في $π$ .

$\frac{7 π}{4} + 0$

خطوة 7.4.2.2

أضف $\frac{7 π}{4}$ و $0$ .

$\frac{7 π}{4}$

خطوة 7.4.3

الفترة $[0, 2 π)$ تتضمن $\frac{7 π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{7 π}{4}$