حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (\tan^{-1} (u) + \sin^{-1} (v))$

خطوة 1

طبّق متطابقة مجموع الزوايا.

$\sin (\tan^{-1} (u)) \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, u)$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\tan^{-1} (u)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, u)$ . إذن، $\sin (\tan^{-1} (u))$ تساوي $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.2

اضرب $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

اضرب $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.3.2

ارفع $\sqrt{1 + u^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.3.3

ارفع $\sqrt{1 + u^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ بالصيغة $1 + u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + u^{2}}$ في صورة ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.3.6.5

بسّط.

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.4

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, v)$ و $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\sin^{-1} (v)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, v)$ . إذن، $\cos (\sin^{-1} (v))$ تساوي $\sqrt{1 - v^{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1 - v^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1^{2} - v^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.6

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = v$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.7

اضرب $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.7.1

اجمع $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ و $\sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}}{1 + u^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.7.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.8

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, u)$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\tan^{-1} (u)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, u)$ . إذن، $\cos (\tan^{-1} (u))$ تساوي $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.9

اضرب $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.10

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.10.2

ارفع $\sqrt{1 + u^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.10.3

ارفع $\sqrt{1 + u^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.10.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.10.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.10.6

أعِد كتابة ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ بالصيغة $1 + u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + u^{2}}$ في صورة ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.10.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.10.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.10.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.10.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.10.6.5

بسّط.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

خطوة 2.1.11

تُعد دالتا الجيب وقوس الجيب دالتين متعاكستين.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} v$

خطوة 2.1.12

اجمع $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ و $v$ .

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}}$

خطوة 2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})} + \sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}}$