حساب المثلثات الأمثلة

$x^{2} - 9 y^{2} = 900$

خطوة 1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$

خطوة 2

اقسِم كل حد في $- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ على $- 9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم كل حد في $- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ على $- 9$ .

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

خطوة 2.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اقسِم $900$ على $- 9$ .

$y^{2} = - 100 + \frac{- x^{2}}{- 9}$

خطوة 2.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y^{2} = - 100 + \frac{x^{2}}{9}$

خطوة 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$

خطوة 4

بسّط $\pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 100 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة $100$ بالصيغة $10^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 10^{2} + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

خطوة 4.3.2

أعِد ترتيب $- 10^{2}$ و ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 10^{2}}$

خطوة 4.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \frac{x}{3}$ و $b = 10$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10) (\frac{x}{3} - 10)}$

خطوة 4.5

لكتابة $10$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

خطوة 4.6

اجمع $10$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

خطوة 4.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 10 \cdot 3}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

خطوة 4.8

اضرب $10$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

خطوة 4.9

لكتابة $- 10$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10 \cdot \frac{3}{3})}$

خطوة 4.10

اجمع $- 10$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3})}$

خطوة 4.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 10 \cdot 3}{3}}$

خطوة 4.12

اضرب $- 10$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 30}{3}}$

خطوة 4.13

اضرب $\frac{x + 30}{3}$ في $\frac{x - 30}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{3 \cdot 3}}$

خطوة 4.14

اضرب $3$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}}$

خطوة 4.15

أعِد كتابة $\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(x + 30) (x - 30)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{9}}$

خطوة 4.15.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}}$

خطوة 4.15.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))}$

خطوة 4.16

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(x + 30) (x - 30)}$

خطوة 4.17

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

خطوة 5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

خطوة 5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

خطوة 5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

خطوة 6

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(x + 30) (x - 30) \geq 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 30 = 0$

$x - 30 = 0$

خطوة 7.2

عيّن قيمة العبارة $x + 30$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عيّن قيمة $x + 30$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 30 = 0$

خطوة 7.2.2

اطرح $30$ من كلا المتعادلين.

$x = - 30$

خطوة 7.3

عيّن قيمة العبارة $x - 30$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عيّن قيمة $x - 30$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 30 = 0$

خطوة 7.3.2

أضف $30$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 30$

خطوة 7.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 30) (x - 30) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 30, 30$

خطوة 7.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 30$

$- 30 < x < 30$

$x > 30$

خطوة 7.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 30$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 30$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 32$

خطوة 7.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 32$ في المتباينة الأصلية.

$((- 32) + 30) ((- 32) - 30) \geq 0$

خطوة 7.6.1.3

الطرف الأيسر $124$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 7.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 30 < x < 30$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 30 < x < 30$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 7.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$((0) + 30) ((0) - 30) \geq 0$

خطوة 7.6.2.3

الطرف الأيسر $- 900$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 7.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 30$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 30$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 32$

خطوة 7.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $32$ في المتباينة الأصلية.

$((32) + 30) ((32) - 30) \geq 0$

خطوة 7.6.3.3

الطرف الأيسر $124$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 7.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 30$ صحيحة

$- 30 < x < 30$ خطأ

$x > 30$ صحيحة

$x < - 30$ صحيحة

$- 30 < x < 30$ خطأ

$x > 30$ صحيحة

خطوة 7.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq - 30$ أو $x \geq 30$

خطوة 8

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 30] \cup [30, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \leq - 30, x \geq 30}$

خطوة 9

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${y | y \in ℝ}$

خطوة 10

حدد النطاق والمدى.

النطاق: $(- \infty, - 30] \cup [30, \infty), {x | x \leq - 30, x \geq 30}$

المدى: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

خطوة 11