حساب المثلثات الأمثلة

$y = \frac{1}{2} \arccos (π x) - 3$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arccos (π y)$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} - 3 = x$

خطوة 2.3

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{\arccos (π y)}{2} = x + 3$

خطوة 2.4

اضرب كلا الطرفين في $2$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

خطوة 2.5.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arccos (π y) = (x + 3) \cdot 2$

خطوة 2.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط $(x + 3) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\arccos (π y) = x \cdot 2 + 3 \cdot 2$

خطوة 2.5.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.2.1

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\arccos (π y) = 2 \cdot x + 3 \cdot 2$

خطوة 2.5.2.1.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\arccos (π y) = 2 x + 6$

خطوة 2.6

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

خُذ قوس جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس جيب التمام.

$π y = \cos (2 x + 6)$

خطوة 2.6.2

اقسِم كل حد في $π y = \cos (2 x + 6)$ على $π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اقسِم كل حد في $π y = \cos (2 x + 6)$ على $π$ .

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

خطوة 2.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

خطوة 2.6.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) + 6)}{π}$

خطوة 4.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arccos (π x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2} - 3) + 6)}{π}$

خطوة 4.2.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

خطوة 4.2.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

خطوة 4.2.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

خطوة 4.2.3.1.4

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) - 6 + 6)}{π}$

خطوة 4.2.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $\arccos (π x) - 6 + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

أضف $- 6$ و $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 0)}{π}$

خطوة 4.2.3.2.2

أضف $\arccos (π x)$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x))}{π}$

خطوة 4.2.3.3

تُعد دالتا جيب التمام وقوس جيب التمام دالتين متعاكستين.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

خطوة 4.2.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

خطوة 4.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

خطوة 4.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (\cos (2 x + 6)) - 3$

خطوة 4.3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arccos (\cos (2 x + 6))$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{\arccos (\cos (2 x + 6))}{2} - 3$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$