حساب المثلثات الأمثلة

$9 y^{2} + 41 = 4 x^{2} + 54 y + 8 x$

خطوة 1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $4 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} = 54 y + 8 x$

خطوة 1.2

اطرح $54 y$ من كلا المتعادلين.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} - 54 y = 8 x$

خطوة 1.3

اطرح $8 x$ من كلا المتعادلين.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} - 54 y - 8 x = 0$

خطوة 1.4

انقُل $41$ .

$9 y^{2} - 4 x^{2} - 54 y - 8 x + 41 = 0$

خطوة 1.5

انقُل $- 54 y$ .

$9 y^{2} - 4 x^{2} - 8 x - 54 y + 41 = 0$

خطوة 1.6

أعِد ترتيب $9 y^{2}$ و $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y + 41 = 0$

خطوة 2

اطرح $41$ من كلا المتعادلين.

$- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$

خطوة 3

أكمل المربع لـ $- 4 x^{2} - 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 4$

$b = - 8$

$c = 0$

خطوة 3.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 4}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 4}$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 4)}$

خطوة 3.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 4}$

خطوة 3.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 4}{- 4}$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{- 4}{- 4}$

خطوة 3.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = 1$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

خطوة 3.4.2.1.3

اقسِم $64$ على $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

خطوة 3.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$e = 0 + 4$

خطوة 3.4.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$e = 4$

خطوة 3.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$

خطوة 4

استبدِل $- 4 x^{2} - 8 x$ بـ $- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$ في المعادلة $- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 4 + 9 y^{2} - 54 y = - 41$

خطوة 5

انقُل $4$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $4$ إلى كلا الطرفين.

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} - 54 y = - 41 - 4$

خطوة 6

أكمل المربع لـ $9 y^{2} - 54 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

خطوة 6.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 54$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

خطوة 6.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 27}{9}$

خطوة 6.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 27$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

خطوة 6.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

خطوة 6.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

خطوة 6.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 3}{1}$

خطوة 6.3.2.2.2.4

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$d = - 3$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ارفع $- 54$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

خطوة 6.4.2.1.2

اضرب $4$ في $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

خطوة 6.4.2.1.3

اقسِم $2916$ على $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

خطوة 6.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $81$ .

$e = 0 - 81$

خطوة 6.4.2.2

اطرح $81$ من $0$ .

$e = - 81$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y - 3)}^{2} - 81$

خطوة 7

استبدِل $9 y^{2} - 54 y$ بـ $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ في المعادلة $- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} - 81 = - 41 - 4$

خطوة 8

انقُل $- 81$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $81$ إلى كلا الطرفين.

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 41 - 4 + 81$

خطوة 9

بسّط $- 41 - 4 + 81$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اطرح $4$ من $- 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 45 + 81$

خطوة 9.2

أضف $- 45$ و $81$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 36$

خطوة 10

اقسِم كل حد على $36$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$- \frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

خطوة 11

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{9} = 1$