حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ , $(0, 2 π)$

خطوة 1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) = 0$

خطوة 2

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $- 2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 4.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 4.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 4.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\sin (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\sin (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\sin (x) = 1$

خطوة 5.2.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (1)$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.5

بسّط $π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.5.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

خطوة 5.2.5.3.2

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.6

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

أوجِد قيم $n$ التي ينتج عنها وجود قيمة في الفترة $(0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $(0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

خطوة 8.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

اضرب $π$ في $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

خطوة 8.1.2.2

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$\frac{π}{2}$

خطوة 8.1.3

الفترة $(0, 2 π)$ تتضمن $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 8.2

عوّض بـ $1$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $(0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

خطوة 8.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

خطوة 8.2.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 8.2.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.3.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

خطوة 8.2.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

خطوة 8.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.4.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

خطوة 8.2.2.4.2

أضف $π$ و $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 8.2.3

الفترة $(0, 2 π)$ تتضمن $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$