حساب المثلثات الأمثلة

$2 \tan^{2} (x) - \tan (x) - 1 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\tan (x)$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $1$ زائد $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

خطوة 1.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

خطوة 1.2.1.4

اضرب $u$ في $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$(2 \tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 \tan (x) + 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $2 \tan (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $2 \tan (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \tan (x) + 1 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \tan (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \tan (x) = - 1$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $2 \tan (x) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \tan (x) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.3

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

احسِب قيمة $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$x = - 0.4636476$

خطوة 3.2.5

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

خطوة 3.2.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أضف $2 π$ إلى $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

خطوة 3.2.6.2

الزاوية الناتجة لـ $2.67794504$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = 2.67794504$

خطوة 3.2.7

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 3.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 3.2.7.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.2.8

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

اجمع $π$ مع $- 0.4636476$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 0.4636476 + π$

خطوة 3.2.8.2

استبدِل بتقريب الكسور العشرية.

$3.14159265 - 0.4636476$

خطوة 3.2.8.3

اطرح $0.4636476$ من $3.14159265$ .

$2.67794504$

خطوة 3.2.8.4

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 2.67794504$

خطوة 3.2.9

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2.67794504 + π n, 2.67794504 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\tan (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\tan (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\tan (x) = 1$

خطوة 4.2.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.4

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.5

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.5.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 4.2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 4.2.5.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 4.2.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 4.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 4.2.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 4.2.7

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 \tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 2.67794504 + π n, 2.67794504 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ادمج $2.67794504 + π n$ و $2.67794504 + π n$ في $2.67794504 + π n$ .

$x = 2.67794504 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6.2

ادمج $\frac{π}{4} + π n$ و $\frac{5 π}{4} + π n$ في $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = 2.67794504 + π n, \frac{π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$