حساب المثلثات الأمثلة

$b = 8$ , $c = 10$ , $B = 30$

خطوة 1

قد يؤدي استخدام قانون الجيب إلى وجود زاوية مُبهَمة. ويعني ذلك وجود $2$ من الزوايا التي من شأنها حل المعادلة بشكل صحيح. بالنسبة إلى المثلث الأول، استخدِم قيمة الزاوية الممكنة الأولى.

أوجِد قيمة المثلث الأول.

خطوة 2

يستند قانون الجيب إلى تناسب الزوايا مع الأضلاع المقابلة لها في المثلثات. ينص القانون على أنه بالنسبة إلى زوايا المثلث غير القائم، فإن كل زاوية في المثلث لها نفس نسبة قياس الزاوية إلى قيمة جيب الزاوية.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في قانون الجيب لإيجاد $C$ .

$\frac{\sin (C)}{10} = \frac{\sin (30)}{8}$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كلا المتعادلين في $10$ .

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

خطوة 4.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

خطوة 4.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (C) = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط $10 \frac{\sin (30)}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\sin (C) = 2 (5) \frac{\sin (30)}{8}$

خطوة 4.2.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

خطوة 4.2.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

خطوة 4.2.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (30)}{4}$

خطوة 4.2.2.1.2

اجمع $5$ و $\frac{\sin (30)}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5 \sin (30)}{4}$

خطوة 4.2.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (30)$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{5 (\frac{1}{2})}{4}$

خطوة 4.2.2.1.4

اجمع $5$ و $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{5}{2}}{4}$

خطوة 4.2.2.1.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\sin (C) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 4.2.2.1.6

اضرب $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.6.1

اضرب $\frac{5}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5}{2 \cdot 4}$

خطوة 4.2.2.1.6.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\sin (C) = \frac{5}{8}$

خطوة 4.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $C$ من داخل الجيب.

$C = \arcsin (\frac{5}{8})$

خطوة 4.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{5}{8})$ .

$C = 38.68218745$

خطوة 4.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$C = 180 - 38.68218745$

خطوة 4.6

اطرح $38.68218745$ من $180$ .

$C = 141.31781254$

خطوة 4.7

حل المعادلة $C = 38.68218745$ .

$C = 38.68218745, 141.31781254$

خطوة 5

مجموع جميع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي $180$ من الدرجات.

$A + 38.68218745 + 30 = 180$

خطوة 6

أوجِد قيمة $A$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أضف $38.68218745$ و $30$ .

$A + 68.68218745 = 180$

خطوة 6.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $A$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $68.68218745$ من كلا المتعادلين.

$A = 180 - 68.68218745$

خطوة 6.2.2

اطرح $68.68218745$ من $180$ .

$A = 111.31781254$

خطوة 7

استخدِم قانون جيب التمام لإيجاد طول الضلع المجهول في المثلث بمعلومية طولي الضلعين الآخرين وقياس الزاوية المحصورة بينهما.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

خطوة 8

أوجِد حل المعادلة.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

خطوة 9

عوّض بالقيم المعروفة في المعادلة.

$a = \sqrt{{(8)}^{2} + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cos (111.31781254)}$

خطوة 10

بسّط النتائج.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$a = \sqrt{64 + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

خطوة 10.2

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

خطوة 10.3

اضرب $- 2 \cdot 8 \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $- 2$ في $8$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 16 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

خطوة 10.3.2

اضرب $- 16$ في $10$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 160 \cos (111.31781254)}$

خطوة 10.4

أضف $64$ و $100$ .

$a = \sqrt{164 - 160 \cos (111.31781254)}$

خطوة 10.5

أعِد كتابة $164 - 160 \cos (111.31781254)$ بالصيغة $2^{2} (41 - 40 \cos (111.31781254))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أخرِج العامل $4$ من $164$ .

$a = \sqrt{4 (41) - 160 \cos (111.31781254)}$

خطوة 10.5.2

أخرِج العامل $4$ من $- 160 \cos (111.31781254)$ .

$a = \sqrt{4 (41) + 4 (- 40 \cos (111.31781254))}$

خطوة 10.5.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (41) + 4 (- 40 \cos (111.31781254))$ .

$a = \sqrt{4 (41 - 40 \cos (111.31781254))}$

خطوة 10.5.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$a = \sqrt{2^{2} (41 - 40 \cos (111.31781254))}$

خطوة 10.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$a = 2 \sqrt{41 - 40 \cos (111.31781254)}$

خطوة 11

بالنسبة إلى المثلث الثاني، استخدِم قيمة الزاوية الممكنة الثانية.

أوجِد قيمة المثلث الثاني.

خطوة 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

خطوة 13

عوّض بالقيم المعروفة في قانون الجيب لإيجاد $C$ .

$\frac{\sin (C)}{10} = \frac{\sin (30)}{8}$

خطوة 14

أوجِد قيمة $C$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب كلا المتعادلين في $10$ .

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

خطوة 14.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

خطوة 14.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (C) = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

خطوة 14.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1

بسّط $10 \frac{\sin (30)}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\sin (C) = 2 (5) \frac{\sin (30)}{8}$

خطوة 14.2.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

خطوة 14.2.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

خطوة 14.2.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (30)}{4}$

خطوة 14.2.2.1.2

اجمع $5$ و $\frac{\sin (30)}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5 \sin (30)}{4}$

خطوة 14.2.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (30)$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{5 (\frac{1}{2})}{4}$

خطوة 14.2.2.1.4

اجمع $5$ و $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{5}{2}}{4}$

خطوة 14.2.2.1.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\sin (C) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 14.2.2.1.6

اضرب $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1.6.1

اضرب $\frac{5}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5}{2 \cdot 4}$

خطوة 14.2.2.1.6.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\sin (C) = \frac{5}{8}$

خطوة 14.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $C$ من داخل الجيب.

$C = \arcsin (\frac{5}{8})$

خطوة 14.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{5}{8})$ .

$C = 38.68218745$

خطوة 14.5

$C = 180 - 38.68218745$

خطوة 14.6

اطرح $38.68218745$ من $180$ .

$C = 141.31781254$

خطوة 14.7

حل المعادلة $C = 38.68218745$ .

$C = 38.68218745, 141.31781254$

خطوة 15

مجموع جميع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي $180$ من الدرجات.

$A + 141.31781254 + 30 = 180$

خطوة 16

أوجِد قيمة $A$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أضف $141.31781254$ و $30$ .

$A + 171.31781254 = 180$

خطوة 16.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $A$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

اطرح $171.31781254$ من كلا المتعادلين.

$A = 180 - 171.31781254$

خطوة 16.2.2

اطرح $171.31781254$ من $180$ .

$A = 8.68218745$

خطوة 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

خطوة 18

عوّض بالقيم المعروفة في قانون الجيب لإيجاد $a$ .

$\frac{\sin (8.68218745)}{a} = \frac{\sin (30)}{8}$

خطوة 19

أوجِد قيمة $a$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

احسِب قيمة $\sin (8.68218745)$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{\sin (30)}{8}$

خطوة 19.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (30)$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{\frac{1}{2}}{8}$

خطوة 19.1.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

خطوة 19.1.4

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{2 \cdot 8}$

خطوة 19.1.4.2

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$

خطوة 19.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$a, 16$

خطوة 19.2.2

Since $a, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 16$ then find LCM for the variable part $a^{1}$ .

خطوة 19.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 19.2.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 19.2.5

العوامل الأساسية لـ $16$ هي $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.5.1

$16$ لها العاملان $2$ و $8$ .

$2 \cdot 8$

خطوة 19.2.5.2

$8$ لها العاملان $2$ و $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

خطوة 19.2.5.3

$4$ لها العاملان $2$ و $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

خطوة 19.2.6

اضرب $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

خطوة 19.2.6.2

اضرب $4$ في $2$ .

$8 \cdot 2$

خطوة 19.2.6.3

اضرب $8$ في $2$ .

$16$

خطوة 19.2.7

عامل $a^{1}$ هو $a$ نفسها.

$a^{1} = a$

تحدث $a$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 19.2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $a^{1}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$a$

خطوة 19.2.9

المضاعف المشترك الأصغر لـ $a, 16$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $16$ في الجزء المتغير.

$16 a$

خطوة 19.3

اضرب كل حد في $\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$ في $16 a$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.1

اضرب كل حد في $\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$ في $16 a$ .

$\frac{0.1509535}{a} (16 a) = \frac{1}{16} (16 a)$

خطوة 19.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$16 \frac{0.1509535}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

خطوة 19.3.2.2

اضرب $16 \frac{0.1509535}{a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.2.2.1

اجمع $16$ و $\frac{0.1509535}{a}$ .

$\frac{16 \cdot 0.1509535}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

خطوة 19.3.2.2.2

اضرب $16$ في $0.1509535$ .

$\frac{2.41525603}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

خطوة 19.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2.41525603}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

خطوة 19.3.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 a)$

خطوة 19.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.3.1.1

أخرِج العامل $16$ من $16 a$ .

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 (a))$

خطوة 19.3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 a)$

خطوة 19.3.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$2.41525603 = a$

خطوة 19.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $a = 2.41525603$ .

$a = 2.41525603$

خطوة 20

هذه هي نتائج إيجاد جميع زوايا وأضلاع المثلث المحدد.

مجموعة المثلث الأول:

$A = 111.31781254$

$B = 30$

$C = 38.68218745$

$a = 2 \sqrt{41 - 40 \cos (111.31781254)}$

$b = 8$

$c = 10$

مجموعة المثلث الثاني:

$A = 8.68218745$

$B = 30$

$C = 141.31781254$

$a = 2.41525603$

$b = 8$

$c = 10$