حساب المثلثات الأمثلة

$C = 127.5$ , $a = 6$ , $b = 10.74$

خطوة 1

استخدِم قانون جيب التمام لإيجاد طول الضلع المجهول في المثلث بمعلومية طولي الضلعين الآخرين وقياس الزاوية المحصورة بينهما.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

خطوة 2

أوجِد حل المعادلة.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في المعادلة.

$c = \sqrt{{(6)}^{2} + {(10.74)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 10.74 \cos (127.5)}$

خطوة 4

بسّط النتائج.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$c = \sqrt{36 + {(10.74)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

خطوة 4.2

ارفع $10.74$ إلى القوة $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 2 \cdot 6 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

خطوة 4.3

اضرب $- 2 \cdot 6 \cdot 10.74$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 2$ في $6$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 12 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

خطوة 4.3.2

اضرب $- 12$ في $10.74$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 \cos (127.5)}$

خطوة 4.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (127.5)$ هي $- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أعِد كتابة $127.5$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 \cos (\frac{255}{2})}$

خطوة 4.4.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}})}$

خطوة 4.4.3

غيِّر $\pm$ إلى $-$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام سالبة في الربع الثاني.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}})}$

خطوة 4.4.4

بسّط $- \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (255)$ هي $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.2

قسّم $75$ إلى زاويتين تُعرف بهما قيم الدوال المثلثية الست.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (30 + 45)}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.3

طبّق متطابقة مجموع زاويتين $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (30)$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (30)$ هي $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (45))}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.8

بسّط $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1.8.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1.8.1.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.8.1.1.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.8.1.1.3

اضرب $3$ في $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.8.1.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.8.1.2

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1.8.1.2.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.8.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}{2}})}$

خطوة 4.4.4.1.8.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

خطوة 4.4.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

خطوة 4.4.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}}{2}})}$

خطوة 4.4.4.4

أعِد كتابة $\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

خطوة 4.4.4.4.2

اضرب $- - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

خطوة 4.4.4.4.2.2

اضرب $\sqrt{2}$ في $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

خطوة 4.4.4.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}})}$

خطوة 4.4.4.6

اضرب $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.6.1

اضرب $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2}})}$

خطوة 4.4.4.6.2

اضرب $4$ في $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}})}$

خطوة 4.4.4.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}})}$

خطوة 4.4.4.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.8.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.8.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}})}$

خطوة 4.4.4.8.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})}$

خطوة 4.4.4.8.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}})}$

خطوة 4.4.4.9

اضرب $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- (\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}$

خطوة 4.4.4.10

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.10.1

اضرب $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}$

خطوة 4.4.4.10.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

خطوة 4.4.4.10.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

خطوة 4.4.4.10.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

خطوة 4.4.4.10.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}$

خطوة 4.4.4.10.6

أضف $1$ و $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}$

خطوة 4.4.4.10.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.10.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}$

خطوة 4.4.4.10.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}$

خطوة 4.4.4.10.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}$

خطوة 4.4.4.10.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.10.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}$

خطوة 4.4.4.10.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}$

خطوة 4.4.4.10.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}$

خطوة 4.4.4.11

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2})}$

خطوة 4.4.4.12

اضرب $2$ في $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})}$

خطوة 4.5

اضرب $- 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $- 128.88$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + 128.88 (\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})}$

خطوة 4.5.2

اجمع $128.88$ و $\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + \frac{128.88 \sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}}$

خطوة 4.5.3

اضرب $128.88$ في $\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + \frac{313.82869188}{4}}$

خطوة 4.6

اقسِم $313.82869188$ على $4$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + 78.45717297}$

خطوة 4.7

أضف $36$ و $115.3476$ .

$c = \sqrt{151.3476 + 78.45717297}$

خطوة 4.8

أضف $151.3476$ و $78.45717297$ .

$c = \sqrt{229.80477297}$

خطوة 4.9

احسِب قيمة الجذر.

$c = 15.15931307$

خطوة 5

يستند قانون الجيب إلى تناسب الزوايا مع الأضلاع المقابلة لها في المثلثات. ينص القانون على أنه بالنسبة إلى زوايا المثلث غير القائم، فإن كل زاوية في المثلث لها نفس نسبة قياس الزاوية إلى قيمة جيب الزاوية.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

خطوة 6

عوّض بالقيم المعروفة في قانون الجيب لإيجاد $A$ .

$\frac{\sin (A)}{6} = \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

خطوة 7

أوجِد قيمة $A$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب كلا المتعادلين في $6$ .

$6 \frac{\sin (A)}{6} = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

خطوة 7.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{\sin (A)}{6} = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (A) = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بسّط $6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

احسِب قيمة $\sin (127.5)$ .

$\sin (A) = 6 (\frac{0.79335334}{15.15931307})$

خطوة 7.2.2.1.2

اقسِم $0.79335334$ على $15.15931307$ .

$\sin (A) = 6 \cdot 0.05233438$

خطوة 7.2.2.1.3

اضرب $6$ في $0.05233438$ .

$\sin (A) = 0.31400631$

خطوة 7.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $A$ من داخل الجيب.

$A = \arcsin (0.31400631)$

خطوة 7.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

احسِب قيمة $\arcsin (0.31400631)$ .

$A = 18.30083638$

خطوة 7.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$A = 180 - 18.30083638$

خطوة 7.6

اطرح $18.30083638$ من $180$ .

$A = 161.69916361$

خطوة 7.7

حل المعادلة $A = 18.30083638$ .

$A = 18.30083638, 161.69916361$

خطوة 7.8

استبعِد المثلث غير الصحيح.

$A = 18.30083638$

خطوة 8

مجموع جميع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي $180$ من الدرجات.

$18.30083638 + 127.5 + B = 180$

خطوة 9

أوجِد قيمة $B$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $18.30083638$ و $127.5$ .

$145.80083638 + B = 180$

خطوة 9.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اطرح $145.80083638$ من كلا المتعادلين.

$B = 180 - 145.80083638$

خطوة 9.2.2

اطرح $145.80083638$ من $180$ .

$B = 34.19916361$

خطوة 10

هذه هي نتائج إيجاد جميع زوايا وأضلاع المثلث المحدد.

$A = 18.30083638$

$B = 34.19916361$

$C = 127.5$

$a = 6$

$b = 10.74$

$c = 15.15931307$