حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = \frac{π}{6}$

خطوة 1

عوّض بقيمة $f (x)$ التي تساوي $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6} = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$ .

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$

خطوة 2.2

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6}$

خطوة 2.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6} - 1$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = \frac{π}{6} - 1$

خطوة 2.4.2

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اطرح $\frac{π}{6}$ من كلا المتعادلين.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} = - 1$

خطوة 2.4.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0$

خطوة 2.4.3

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $6$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (2 u) + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

خطوة 2.4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.2.1

اضرب $2$ في $6$ .

$12 u + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

خطوة 2.4.3.2.2

اضرب $- 2$ في $6$ .

$12 u - 12 u^{2} + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

خطوة 2.4.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{6}$ إلى بسط الكسر.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

خطوة 2.4.3.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

خطوة 2.4.3.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 \cdot 1 = 0$

خطوة 2.4.3.2.4

اضرب $6$ في $1$ .

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 = 0$

خطوة 2.4.3.3

أعِد ترتيب $12 u$ و $- 12 u^{2}$ .

$- 12 u^{2} + 12 u - π + 6 = 0$

خطوة 2.4.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.4.5

عوّض بقيم $a = - 12$ و $b = 12$ و $c = - π + 6$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- π + 6))}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.6.1.2

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.6.1.4

اضرب $- 1$ في $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.6.1.5

اضرب $48$ في $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.6.1.6

أضف $144$ و $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.6.2

اضرب $2$ في $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

خطوة 2.4.6.3

بسّط $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

خطوة 2.4.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.7.1.2

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.7.1.4

اضرب $- 1$ في $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.7.1.5

اضرب $48$ في $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.7.1.6

أضف $144$ و $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.7.2

اضرب $2$ في $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

خطوة 2.4.7.3

بسّط $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

خطوة 2.4.7.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

خطوة 2.4.8

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.8.1.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.8.1.2

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.8.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.8.1.4

اضرب $- 1$ في $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.8.1.5

اضرب $48$ في $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.8.1.6

أضف $144$ و $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 2.4.8.2

اضرب $2$ في $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

خطوة 2.4.8.3

بسّط $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

خطوة 2.4.8.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$u = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

خطوة 2.4.9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

خطوة 2.4.10

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

خطوة 2.4.11

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

خطوة 2.4.12

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.12.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

خطوة 2.4.12.2

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

خطوة 2.4.12.3

احذِف الأقواس.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

خطوة 2.4.12.4

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.12.4.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.4.12.4.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.4.12.4.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.4.12.4.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.4.12.5

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.4.13

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.13.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

خطوة 2.4.13.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.13.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$ .

$x = - 0.2000451$

خطوة 2.4.13.3

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

خطوة 2.4.13.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.13.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 + 0.2000451$

خطوة 2.4.13.4.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

خطوة 2.4.13.4.3

أضف $3.14159265$ و $0.2000451$ .

$x = 3.34163776$

خطوة 2.4.13.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.13.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.4.13.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.4.13.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.4.13.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.4.13.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.13.6.1

اجمع $2 π$ مع $- 0.2000451$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 0.2000451 + 2 π$

خطوة 2.4.13.6.2

اطرح $0.2000451$ من $2 π$ .

$6.08314019$

خطوة 2.4.13.6.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 6.08314019$

خطوة 2.4.13.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.4.14

اسرِد جميع الحلول.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$