حساب المثلثات الأمثلة

$b = 1$ , $c = 2$ , $A = 150$

خطوة 1

استخدِم قانون جيب التمام لإيجاد طول الضلع المجهول في المثلث بمعلومية طولي الضلعين الآخرين وقياس الزاوية المحصورة بينهما.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

خطوة 2

أوجِد حل المعادلة.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في المعادلة.

$a = \sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos (150)}$

خطوة 4

بسّط النتائج.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$a = \sqrt{1 + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

خطوة 4.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

خطوة 4.3

اضرب $- 2 \cdot 1 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot (2 \cos (150))}$

خطوة 4.3.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \cos (150)}$

خطوة 4.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \cos (30))}$

خطوة 4.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (30)$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

خطوة 4.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

خطوة 4.6.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 (- 2) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

خطوة 4.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \cdot (- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

خطوة 4.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 4.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.2

أضف $1$ و $4$ .

$a = \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$

خطوة 5

يستند قانون الجيب إلى تناسب الزوايا مع الأضلاع المقابلة لها في المثلثات. ينص القانون على أنه بالنسبة إلى زوايا المثلث غير القائم، فإن كل زاوية في المثلث لها نفس نسبة قياس الزاوية إلى قيمة جيب الزاوية.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

خطوة 6

عوّض بالقيم المعروفة في قانون الجيب لإيجاد $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

خطوة 7

أوجِد قيمة $B$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لكي تكون الدالتان متساويتين، يجب أن يتساوى المتغيران المستقلان لكل منهما.

$B = 150$

خطوة 7.2

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$B = 180 - 150$

خطوة 7.3

اطرح $150$ من $180$ .

$B = 30$

خطوة 7.4

حل المعادلة $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

خطوة 7.5

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ صحيحة.

$لا يوجد حل$

خطوة 8

لا توجد معلمات كافية لحل المثلث.

مثلث مجهول

خطوة 9

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

خطوة 10

عوّض بالقيم المعروفة في قانون الجيب لإيجاد $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

خطوة 11

أوجِد قيمة $B$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

لكي تكون الدالتان متساويتين، يجب أن يتساوى المتغيران المستقلان لكل منهما.

$B = 150$

خطوة 11.2

$B = 180 - 150$

خطوة 11.3

اطرح $150$ من $180$ .

$B = 30$

خطوة 11.4

حل المعادلة $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

خطوة 11.5

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ صحيحة.

$لا يوجد حل$

خطوة 12

لا توجد معلمات كافية لحل المثلث.

مثلث مجهول

خطوة 13

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

خطوة 14

عوّض بالقيم المعروفة في قانون الجيب لإيجاد $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

خطوة 15

أوجِد قيمة $B$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

لكي تكون الدالتان متساويتين، يجب أن يتساوى المتغيران المستقلان لكل منهما.

$B = 150$

خطوة 15.2

$B = 180 - 150$

خطوة 15.3

اطرح $150$ من $180$ .

$B = 30$

خطوة 15.4

حل المعادلة $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

خطوة 15.5

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ صحيحة.

$لا يوجد حل$

خطوة 16

لا توجد معلمات كافية لحل المثلث.

مثلث مجهول

خطوة 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

خطوة 18

عوّض بالقيم المعروفة في قانون الجيب لإيجاد $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

خطوة 19

أوجِد قيمة $B$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

لكي تكون الدالتان متساويتين، يجب أن يتساوى المتغيران المستقلان لكل منهما.

$B = 150$

خطوة 19.2

$B = 180 - 150$

خطوة 19.3

اطرح $150$ من $180$ .

$B = 30$

خطوة 19.4

حل المعادلة $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

خطوة 19.5

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ صحيحة.

$لا يوجد حل$

خطوة 20

لا توجد معلمات كافية لحل المثلث.

مثلث مجهول

خطوة 21

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

خطوة 22

عوّض بالقيم المعروفة في قانون الجيب لإيجاد $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

خطوة 23

أوجِد قيمة $B$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

لكي تكون الدالتان متساويتين، يجب أن يتساوى المتغيران المستقلان لكل منهما.

$B = 150$

خطوة 23.2

$B = 180 - 150$

خطوة 23.3

اطرح $150$ من $180$ .

$B = 30$

خطوة 23.4

حل المعادلة $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

خطوة 23.5

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ صحيحة.

$لا يوجد حل$

خطوة 24

لا توجد معلمات كافية لحل المثلث.

مثلث مجهول