حساب المثلثات الأمثلة

$(- 5, 1)$ , $(8, 6)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 5 \cdot 8 + 1 \cdot 6$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $- 5$ في $8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 40 + 1 \cdot 6$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $6$ في $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 40 + 6$

خطوة 2.2.2

أضف $- 40$ و $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 34$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 1^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 1^{2}}$

خطوة 3.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 1}$

خطوة 3.2.3

أضف $25$ و $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{26}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{8^{2} + 6^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{64 + 6^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{64 + 36}$

خطوة 4.2.3

أضف $64$ و $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{100}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة $100$ بالصيغة $10^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

خطوة 4.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| b⃗ | = 10$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{- 34}{\sqrt{26} \cdot 10})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 34$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 34$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (- 17)}{\sqrt{26} \cdot 10})$

خطوة 6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $\sqrt{26} \cdot 10$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (- 17)}{2 (\sqrt{26} \cdot 5)})$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 17}{2 (\sqrt{26} \cdot 5)})$

خطوة 6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{- 17}{\sqrt{26} \cdot 5})$

خطوة 6.2

انقُل $5$ إلى يسار $\sqrt{26}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 17}{5 \sqrt{26}})$

خطوة 6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$θ = \arccos (- \frac{17}{5 \sqrt{26}})$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{17}{5 \sqrt{26}}$ في $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{17}{5 \sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}))$

خطوة 6.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $\frac{17}{5 \sqrt{26}}$ في $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 \sqrt{26} \sqrt{26}})$

خطوة 6.5.2

انقُل $\sqrt{26}$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 (\sqrt{26} \sqrt{26})})$

خطوة 6.5.3

ارفع $\sqrt{26}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 ({\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26})})$

خطوة 6.5.4

ارفع $\sqrt{26}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 ({\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1})})$

خطوة 6.5.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 {\sqrt{26}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.5.6

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 {\sqrt{26}}^{2}})$

خطوة 6.5.7

أعِد كتابة ${\sqrt{26}}^{2}$ بالصيغة $26$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{26}$ في صورة $26^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 {(26^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.5.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 \cdot 26^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.5.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 \cdot 26^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.5.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 \cdot 26^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.5.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 \cdot 26^{1}})$

خطوة 6.5.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{5 \cdot 26})$

خطوة 6.6

اضرب $5$ في $26$ .

$θ = \arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{130})$

خطوة 6.7

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{17 \sqrt{26}}{130})$ .

$θ = 131.82016988$