حساب المثلثات الأمثلة

$(3, 7)$ , $(9, 1)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 7 \cdot 1$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $3$ في $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 7 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $7$ في $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 7$

خطوة 2.2.2

أضف $27$ و $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 34$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 7^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 7^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 49}$

خطوة 3.2.3

أضف $9$ و $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{58}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 1^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 1^{2}}$

خطوة 4.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 1}$

خطوة 4.2.3

أضف $81$ و $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{82}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{34}{\sqrt{58} \sqrt{82}})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$θ = \arccos (\frac{34}{\sqrt{58 \cdot 82}})$

خطوة 6.1.2

اضرب $58$ في $82$ .

$θ = \arccos (\frac{34}{\sqrt{4756}})$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $4756$ بالصيغة $2^{2} \cdot 1189$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4756$ .

$θ = \arccos (\frac{34}{\sqrt{4 (1189)}})$

خطوة 6.2.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{34}{\sqrt{2^{2} \cdot 1189}})$

خطوة 6.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$θ = \arccos (\frac{34}{2 \sqrt{1189}})$

خطوة 6.3

احذِف العامل المشترك لـ $34$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $2$ من $34$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 17}{2 \sqrt{1189}})$

خطوة 6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{1189}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 17}{2 (\sqrt{1189})})$

خطوة 6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 17}{2 \sqrt{1189}})$

خطوة 6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{17}{\sqrt{1189}})$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{17}{\sqrt{1189}}$ في $\frac{\sqrt{1189}}{\sqrt{1189}}$ .

$θ = \arccos (\frac{17}{\sqrt{1189}} \cdot \frac{\sqrt{1189}}{\sqrt{1189}})$

خطوة 6.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $\frac{17}{\sqrt{1189}}$ في $\frac{\sqrt{1189}}{\sqrt{1189}}$ .

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{\sqrt{1189} \sqrt{1189}})$

خطوة 6.5.2

ارفع $\sqrt{1189}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{{\sqrt{1189}}^{1} \sqrt{1189}})$

خطوة 6.5.3

ارفع $\sqrt{1189}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{{\sqrt{1189}}^{1} {\sqrt{1189}}^{1}})$

خطوة 6.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{{\sqrt{1189}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{{\sqrt{1189}}^{2}})$

خطوة 6.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{1189}}^{2}$ بالصيغة $1189$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1189}$ في صورة $1189^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{{(1189^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{1189^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{1189^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{1189^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{1189^{1}})$

خطوة 6.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{1189})$

خطوة 6.6

احسِب قيمة $\arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{1189})$ .

$θ = 60.46121774$