حساب المثلثات الأمثلة

$(3, - 3)$ , $(7, 5)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 7 - 3 \cdot 5$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $3$ في $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 21 - 3 \cdot 5$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $- 3$ في $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 21 - 15$

خطوة 2.2.2

اطرح $15$ من $21$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + {(- 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

خطوة 3.2.3

أضف $9$ و $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة $18$ بالصيغة $3^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أخرِج العامل $9$ من $18$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

خطوة 3.2.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

خطوة 3.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{7^{2} + 5^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{49 + 5^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{49 + 25}$

خطوة 4.2.3

أضف $49$ و $25$ .

$| b⃗ | = \sqrt{74}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{6}{3 \sqrt{2} \sqrt{74}})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 \sqrt{2} \sqrt{74}})$

خطوة 6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \sqrt{2} \sqrt{74}$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2} \sqrt{74})})$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2} \sqrt{74})})$

خطوة 6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{74}})$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2 \cdot 74}})$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $74$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{148}})$

خطوة 6.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أعِد كتابة $148$ بالصيغة $2^{2} \cdot 37$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $148$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{4 (37)}})$

خطوة 6.3.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 37}})$

خطوة 6.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{37}})$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{37}})$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{37}})$

خطوة 6.5

اضرب $\frac{1}{\sqrt{37}}$ في $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}})$

خطوة 6.6

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{37}}$ في $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}})$

خطوة 6.6.2

ارفع $\sqrt{37}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37}})$

خطوة 6.6.3

ارفع $\sqrt{37}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1}})$

خطوة 6.6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.6.5

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}})$

خطوة 6.6.6

أعِد كتابة ${\sqrt{37}}^{2}$ بالصيغة $37$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{37}$ في صورة $37^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.6.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.6.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.6.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.6.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{37}}{37^{1}})$

خطوة 6.6.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{37}}{37})$

خطوة 6.7

احسِب قيمة $\arccos (\frac{\sqrt{37}}{37})$ .

$θ = 80.53767779$