حساب المثلثات الأمثلة

$(- 3, 2)$ , $(1, 4)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 + 2 \cdot 4$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 + 8$

خطوة 2.2.2

أضف $- 3$ و $8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 5$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 2^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 4}$

خطوة 3.2.3

أضف $9$ و $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{13}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 4^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 4^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 16}$

خطوة 4.2.3

أضف $1$ و $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{17}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{5}{\sqrt{13} \sqrt{17}})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$θ = \arccos (\frac{5}{\sqrt{13 \cdot 17}})$

خطوة 6.1.2

اضرب $13$ في $17$ .

$θ = \arccos (\frac{5}{\sqrt{221}})$

خطوة 6.2

اضرب $\frac{5}{\sqrt{221}}$ في $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$ .

$θ = \arccos (\frac{5}{\sqrt{221}} \cdot \frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}})$

خطوة 6.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $\frac{5}{\sqrt{221}}$ في $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{221}}{\sqrt{221} \sqrt{221}})$

خطوة 6.3.2

ارفع $\sqrt{221}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1} \sqrt{221}})$

خطوة 6.3.3

ارفع $\sqrt{221}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1} {\sqrt{221}}^{1}})$

خطوة 6.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{2}})$

خطوة 6.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{221}}^{2}$ بالصيغة $221$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{221}$ في صورة $221^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{221}}{{(221^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{221}}{221^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{221}}{221^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{221}}{221^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{221}}{221^{1}})$

خطوة 6.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{221}}{221})$

خطوة 6.4

احسِب قيمة $\arccos (\frac{5 \sqrt{221}}{221})$ .

$θ = 70.34617594$