حساب المثلثات الأمثلة

$(- 2, 7)$ , $(0, - 4)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 0 + 7 \cdot - 4$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $- 2$ في $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 7 \cdot - 4$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $7$ في $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 28$

خطوة 2.2.2

اطرح $28$ من $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 28$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 7^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 7^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 49}$

خطوة 3.2.3

أضف $4$ و $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{53}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 16}$

خطوة 4.2.3

أضف $0$ و $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4^{2}}$

خطوة 4.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| b⃗ | = 4$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{- 28}{\sqrt{53} \cdot 4})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 28$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 28$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 7}{\sqrt{53} \cdot 4})$

خطوة 6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $\sqrt{53} \cdot 4$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 7}{4 \cdot \sqrt{53}})$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 7}{4 \cdot \sqrt{53}})$

خطوة 6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{- 7}{\sqrt{53}})$

خطوة 6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$θ = \arccos (- \frac{7}{\sqrt{53}})$

خطوة 6.3

اضرب $\frac{7}{\sqrt{53}}$ في $\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{7}{\sqrt{53}} \cdot \frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}))$

خطوة 6.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $\frac{7}{\sqrt{53}}$ في $\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}})$

خطوة 6.4.2

ارفع $\sqrt{53}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{1} \sqrt{53}})$

خطوة 6.4.3

ارفع $\sqrt{53}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{1} {\sqrt{53}}^{1}})$

خطوة 6.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{2}})$

خطوة 6.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{53}}^{2}$ بالصيغة $53$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{53}$ في صورة $53^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{{(53^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{53^{1}})$

خطوة 6.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{53})$

خطوة 6.5

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{53})$ .

$θ = 164.05460409$