حساب المثلثات الأمثلة

$(- 2, 0)$ , $(1, 7)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $0$ في $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

خطوة 2.2.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}$

خطوة 3.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}$

خطوة 3.2.3

أضف $4$ و $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4}$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}$

خطوة 3.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| a⃗ | = 2$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}$

خطوة 4.2.3

أضف $1$ و $49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{50}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة $50$ بالصيغة $5^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أخرِج العامل $25$ من $50$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

خطوة 4.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

خطوة 6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

خطوة 6.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{5 \sqrt{2}})$

خطوة 6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$θ = \arccos (- \frac{1}{5 \sqrt{2}})$

خطوة 6.3

اضرب $\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

خطوة 6.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

خطوة 6.4.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

خطوة 6.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

خطوة 6.4.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

خطوة 6.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}})$

خطوة 6.4.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.4.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.4.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.4.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.4.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}})$

خطوة 6.4.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2})$

خطوة 6.5

اضرب $5$ في $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$

خطوة 6.6

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$ .

$θ = 98.13010235$