حساب المثلثات الأمثلة

(- 2, 0)

$(- 2, 0)$ ,

(1, 7)

$(1, 7)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب

- 2

$- 2$ في

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7$

خطوة 2.2.1.2

اضرب

0

$0$ في

7

$7$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

خطوة 2.2.2

أضف

- 2

$- 2$ و

0

$0$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

خطوة 3

أوجِد مقدار

a⃗

$a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع

- 2

$- 2$ إلى القوة

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}$

خطوة 3.2.2

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}$

خطوة 3.2.3

أضف

$4$ و

$0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4}$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة

$4$ بالصيغة

$2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}$

خطوة 3.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| a⃗ | = 2$

خطوة 4

أوجِد مقدار

$b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع

$7$ إلى القوة

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}$

خطوة 4.2.3

أضف

$1$ و

$49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{50}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة

$50$ بالصيغة

$5^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أخرِج العامل

$25$ من

$50$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة

$25$ بالصيغة

$5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

خطوة 4.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ

$- 2$ و

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل

$2$ من

$- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

خطوة 6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

خطوة 6.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{5 \sqrt{2}})$

خطوة 6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$θ = \arccos (- \frac{1}{5 \sqrt{2}})$

خطوة 6.3

اضرب

$\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ في

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

خطوة 6.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب

$\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ في

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

خطوة 6.4.2

انقُل

$\sqrt{2}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

خطوة 6.4.3

ارفع

$\sqrt{2}$ إلى القوة

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

خطوة 6.4.4

ارفع

$\sqrt{2}$ إلى القوة

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

خطوة 6.4.5

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.4.6

أضف

$1$ و

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}})$

خطوة 6.4.7

أعِد كتابة

${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.7.1

استخدِم

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

$\sqrt{2}$ في صورة

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.4.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.4.7.3

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.4.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.4.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}})$

خطوة 6.4.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2})$

خطوة 6.5

اضرب

$5$ في

$2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$

خطوة 6.6

احسِب قيمة

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$ .

$θ = 98.13010235$