حساب المثلثات الأمثلة

$(2, \sqrt{3})$ , $(- 4, 2 \sqrt{3})$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $2$ في $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $\sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

خطوة 2.2.1.2.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

خطوة 2.2.1.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

خطوة 2.2.1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{2}$

خطوة 2.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 2.2.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 2.2.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.2.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.2.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{1}$

خطوة 2.2.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3$

خطوة 2.2.1.4

اضرب $2$ في $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 6$

خطوة 2.2.2

أضف $- 8$ و $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.2.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{1}}$

خطوة 3.2.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3}$

خطوة 3.2.3

أضف $4$ و $3$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{3}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.2.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{1}}$

خطوة 4.2.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3}$

خطوة 4.2.5

اضرب $4$ في $3$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 12}$

خطوة 4.2.6

أضف $16$ و $12$ .

$| b⃗ | = \sqrt{28}$

خطوة 4.2.7

أعِد كتابة $28$ بالصيغة $2^{2} \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (7)}$

خطوة 4.2.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

خطوة 4.2.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{7}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

خطوة 6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $\sqrt{7} (2 \sqrt{7})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

خطوة 6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{7} (\sqrt{7})})$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ارفع $\sqrt{7}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})$

خطوة 6.2.2

ارفع $\sqrt{7}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})$

خطوة 6.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{2}})$

خطوة 6.3

أعِد كتابة ${\sqrt{7}}^{2}$ بالصيغة $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7}$ في صورة $7^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{1}})$

خطوة 6.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7})$

خطوة 6.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$θ = \arccos (- \frac{1}{7})$

خطوة 6.5

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{1}{7})$ .

$θ = 98.2132107$