حساب المثلثات الأمثلة

$(1, 2)$ , $(- 2, - 4)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 + 2 \cdot - 4$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 2 \cdot - 4$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 8$

خطوة 2.2.2

اطرح $8$ من $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

خطوة 3.2.3

أضف $1$ و $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

خطوة 4.2.3

أضف $4$ و $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

خطوة 4.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{- 10}{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})})$

خطوة 6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $\sqrt{5} (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

خطوة 6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{\sqrt{5} (\sqrt{5})})$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

خطوة 6.2.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

خطوة 6.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{2}})$

خطوة 6.3

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{1}})$

خطوة 6.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5})$

خطوة 6.4

اقسِم $- 5$ على $5$ .

$θ = \arccos (- 1)$

خطوة 6.5

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $180$ .

$θ = 180$