حساب المثلثات الأمثلة

$(1, \frac{5}{3})$ , $(1, - 8)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اجمع $\frac{5}{3}$ و $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $5$ في $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

خطوة 2.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

خطوة 2.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

خطوة 2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

خطوة 2.2.4

اطرح $40$ من $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

خطوة 2.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{3}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

خطوة 3.2.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

خطوة 3.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

خطوة 3.2.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

خطوة 3.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

خطوة 3.2.7

أضف $9$ و $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

خطوة 3.2.8

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{34}{9}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

خطوة 3.2.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

خطوة 3.2.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

خطوة 4.2.3

أضف $1$ و $64$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{\sqrt{34}}{3}$ و $\sqrt{65}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

خطوة 6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

خطوة 6.3.2

اضرب $34$ في $65$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

خطوة 6.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

خطوة 6.5

اضرب $\frac{3}{\sqrt{2210}}$ في $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

خطوة 6.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{37}{3}$ إلى بسط الكسر.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

خطوة 6.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

خطوة 6.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

خطوة 6.7

اجمع $- 37$ و $\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

خطوة 6.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

خطوة 6.9

اضرب $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ في $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

خطوة 6.10

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1

اضرب $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ في $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

خطوة 6.10.2

ارفع $\sqrt{2210}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

خطوة 6.10.3

ارفع $\sqrt{2210}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

خطوة 6.10.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.10.5

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

خطوة 6.10.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2210}}^{2}$ بالصيغة $2210$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2210}$ في صورة $2210^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.10.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.10.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.10.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.10.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

خطوة 6.10.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

خطوة 6.11

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

$θ = 141.91122711$