حساب المثلثات الأمثلة

$(1, \frac{5}{3})$ ,

$(1, - 8)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب

$1$ في

$1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

خطوة 2.2.1.2

اضرب

$\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اجمع

$\frac{5}{3}$ و

$- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب

$5$ في

$- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

خطوة 2.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

خطوة 2.2.2

اكتب

$1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

خطوة 2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

خطوة 2.2.4

اطرح

$40$ من

$3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

خطوة 2.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

خطوة 3

أوجِد مقدار

$a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على

$\frac{5}{3}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

خطوة 3.2.3

ارفع

$5$ إلى القوة

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

خطوة 3.2.4

ارفع

$3$ إلى القوة

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

خطوة 3.2.5

اكتب

$1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

خطوة 3.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

خطوة 3.2.7

أضف

$9$ و

$25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

خطوة 3.2.8

أعِد كتابة

$\sqrt{\frac{34}{9}}$ بالصيغة

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

خطوة 3.2.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.1

أعِد كتابة

$9$ بالصيغة

$3^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

خطوة 3.2.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

خطوة 4

أوجِد مقدار

$b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع

$- 8$ إلى القوة

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

خطوة 4.2.3

أضف

$1$ و

$64$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

خطوة 6.2

اجمع

$\frac{\sqrt{34}}{3}$ و

$\sqrt{65}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

خطوة 6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

خطوة 6.3.2

اضرب

$34$ في

$65$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

خطوة 6.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

خطوة 6.5

اضرب

$\frac{3}{\sqrt{2210}}$ في

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

خطوة 6.6

ألغِ العامل المشترك لـ

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

انقُل السالب الرئيسي في

$- \frac{37}{3}$ إلى بسط الكسر.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

خطوة 6.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

خطوة 6.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

خطوة 6.7

اجمع

$- 37$ و

$\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

خطوة 6.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

خطوة 6.9

اضرب

$\frac{37}{\sqrt{2210}}$ في

$\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

خطوة 6.10

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1

اضرب

$\frac{37}{\sqrt{2210}}$ في

$\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

خطوة 6.10.2

ارفع

$\sqrt{2210}$ إلى القوة

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

خطوة 6.10.3

ارفع

$\sqrt{2210}$ إلى القوة

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

خطوة 6.10.4

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.10.5

أضف

$1$ و

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

خطوة 6.10.6

أعِد كتابة

${\sqrt{2210}}^{2}$ بالصيغة

$2210$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.6.1

استخدِم

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

$\sqrt{2210}$ في صورة

$2210^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.10.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.10.6.3

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$2$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.10.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.10.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

خطوة 6.10.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

خطوة 6.11

احسِب قيمة

$\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

$θ = 141.91122711$