حساب المثلثات الأمثلة

$(0, 9)$ , $(5, 80)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 5 + 9 \cdot 80$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $0$ في $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 9 \cdot 80$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $9$ في $80$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 720$

خطوة 2.2.2

أضف $0$ و $720$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 720$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + 9^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 9^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 81}$

خطوة 3.2.3

أضف $0$ و $81$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81}$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة $81$ بالصيغة $9^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2}}$

خطوة 3.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| a⃗ | = 9$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 80^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 80^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $80$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 6400}$

خطوة 4.2.3

أضف $25$ و $6400$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6425}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة $6425$ بالصيغة $5^{2} \cdot 257$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أخرِج العامل $25$ من $6425$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (257)}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 257}$

خطوة 4.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{257}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{720}{9 (5 \sqrt{257})})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $720$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $9$ من $720$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \cdot 80}{9 (5 \sqrt{257})})$

خطوة 6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{9 \cdot 80}{9 (5 \sqrt{257})})$

خطوة 6.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{80}{5 \sqrt{257}})$

خطوة 6.2

احذِف العامل المشترك لـ $80$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $5$ من $80$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 16}{5 \sqrt{257}})$

خطوة 6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \sqrt{257}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 16}{5 (\sqrt{257})})$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 16}{5 \sqrt{257}})$

خطوة 6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{16}{\sqrt{257}})$

خطوة 6.3

اضرب $\frac{16}{\sqrt{257}}$ في $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$θ = \arccos (\frac{16}{\sqrt{257}} \cdot \frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}})$

خطوة 6.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $\frac{16}{\sqrt{257}}$ في $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{\sqrt{257} \sqrt{257}})$

خطوة 6.4.2

ارفع $\sqrt{257}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} \sqrt{257}})$

خطوة 6.4.3

ارفع $\sqrt{257}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} {\sqrt{257}}^{1}})$

خطوة 6.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{2}})$

خطوة 6.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{257}}^{2}$ بالصيغة $257$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{257}$ في صورة $257^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{(257^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{1}})$

خطوة 6.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257})$

خطوة 6.5

احسِب قيمة $\arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257})$ .

$θ = 3.57633437$