حساب المثلثات الأمثلة

$h (t) = 10 \sin (2 π t) + 15$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \sin (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = 10$

$b = 2 π$

$c = 0$

$d = 15$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $10$

خطوة 3

أوجِد الفترة باستخدام القاعدة $\frac{2 π}{| b |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد فترة $10 \sin (2 π x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.1.2

استبدِل $b$ بـ $2 π$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

خطوة 3.1.3

$2 π$ تساوي تقريبًا $6.2831853$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{2 π}$

خطوة 3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2 π}$

خطوة 3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π}{π}$

خطوة 3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π}{π}$

خطوة 3.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$

خطوة 3.2

أوجِد فترة $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.2

استبدِل $b$ بـ $2 π$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

خطوة 3.2.3

$2 π$ تساوي تقريبًا $6.2831853$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{2 π}$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2 π}$

خطوة 3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π}{π}$

خطوة 3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π}{π}$

خطوة 3.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$

خطوة 3.3

فترة جمع أو طرح الدوال المثلثية هي القيمة القصوى للفترات الفردية.

$1$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{0}{2 π}$

خطوة 4.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

إزاحة الطور: $\frac{2 (0)}{2 π}$

خطوة 4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

إزاحة الطور: $\frac{2 (0)}{2 (π)}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

إزاحة الطور: $\frac{0}{π}$

خطوة 4.4

اقسِم $0$ على $π$ .

إزاحة الطور: $0$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $10$

الفترة: $1$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: $15$

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 10 \sin (2 π (0)) + 15$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$f (0) = 10 \sin (0 π) + 15$

خطوة 6.1.2.1.1.2

اضرب $0$ في $π$ .

$f (0) = 10 \sin (0) + 15$

خطوة 6.1.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (0) = 10 \cdot 0 + 15$

خطوة 6.1.2.1.3

اضرب $10$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 15$

خطوة 6.1.2.2

أضف $0$ و $15$ .

$f (0) = 15$

خطوة 6.1.2.3

الإجابة النهائية هي $15$ .

$15$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = 10 \sin (2 π (\frac{1}{4})) + 15$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (\frac{1}{4}) = 10 \sin (2 (π) (\frac{1}{4})) + 15$

خطوة 6.2.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = 10 \sin (2 (π) (\frac{1}{2 (2)})) + 15$

خطوة 6.2.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{4}) = 10 \sin (2 π (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 15$

خطوة 6.2.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = 10 \sin (π (\frac{1}{2})) + 15$

خطوة 6.2.2.1.2

اجمع $π$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 10 \sin (\frac{π}{2}) + 15$

خطوة 6.2.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = 10 \cdot 1 + 15$

خطوة 6.2.2.1.4

اضرب $10$ في $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = 10 + 15$

خطوة 6.2.2.2

أضف $10$ و $15$ .

$f (\frac{1}{4}) = 25$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $25$ .

$25$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{2}) = 10 \sin (2 π (\frac{1}{2})) + 15$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (\frac{1}{2}) = 10 \sin (2 (π) (\frac{1}{2})) + 15$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{2}) = 10 \sin (2 π (\frac{1}{2})) + 15$

خطوة 6.3.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{2}) = 10 \sin (π) + 15$

خطوة 6.3.2.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{1}{2}) = 10 \sin (0) + 15$

خطوة 6.3.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = 10 \cdot 0 + 15$

خطوة 6.3.2.1.4

اضرب $10$ في $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = 0 + 15$

خطوة 6.3.2.2

أضف $0$ و $15$ .

$f (\frac{1}{2}) = 15$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $15$ .

$15$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{3}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (2 π (\frac{3}{4})) + 15$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (2 (π) (\frac{3}{4})) + 15$

خطوة 6.4.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (2 (π) (\frac{3}{2 (2)})) + 15$

خطوة 6.4.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (2 π (\frac{3}{2 \cdot 2})) + 15$

خطوة 6.4.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (π (\frac{3}{2})) + 15$

خطوة 6.4.2.1.2

اجمع $π$ و $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (\frac{π \cdot 3}{2}) + 15$

خطوة 6.4.2.1.3

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (\frac{3 \cdot π}{2}) + 15$

خطوة 6.4.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{3}{4}) = 10 (- \sin (\frac{π}{2})) + 15$

خطوة 6.4.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = 10 (- 1 \cdot 1) + 15$

خطوة 6.4.2.1.6

اضرب $10 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = 10 \cdot - 1 + 15$

خطوة 6.4.2.1.6.2

اضرب $10$ في $- 1$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 10 + 15$

خطوة 6.4.2.2

أضف $- 10$ و $15$ .

$f (\frac{3}{4}) = 5$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $5$ .

$5$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 10 \sin (2 π (1)) + 15$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f (1) = 10 \sin (2 π) + 15$

خطوة 6.5.2.1.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (1) = 10 \sin (0) + 15$

خطوة 6.5.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (1) = 10 \cdot 0 + 15$

خطوة 6.5.2.1.4

اضرب $10$ في $0$ .

$f (1) = 0 + 15$

خطوة 6.5.2.2

أضف $0$ و $15$ .

$f (1) = 15$

خطوة 6.5.2.3

الإجابة النهائية هي $15$ .

$15$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 15 \\ \frac{1}{4} & 25 \\ \frac{1}{2} & 15 \\ \frac{3}{4} & 5 \\ 1 & 15 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $10$

الفترة: $1$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: $15$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 15 \\ \frac{1}{4} & 25 \\ \frac{1}{2} & 15 \\ \frac{3}{4} & 5 \\ 1 & 15 \end{array}$

خطوة 8