حساب المثلثات الأمثلة

$g (x) = 2 \cos (2 x - π) + 4$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = 2$

$b = 2$

$c = π$

$d = 4$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $2$

خطوة 3

أوجِد الفترة باستخدام القاعدة $\frac{2 π}{| b |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد فترة $2 \cos (2 x - π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.1.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 3.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.1.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.2

أوجِد فترة $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 3.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.2.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.3

فترة جمع أو طرح الدوال المثلثية هي القيمة القصوى للفترات الفردية.

$π$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{π}{2}$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $2$

الفترة: $π$

إزاحة الطور: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: $4$

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) + 4$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) + 4$

خطوة 6.1.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (π - π) + 4$

خطوة 6.1.2.1.2

اطرح $π$ من $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (0) + 4$

خطوة 6.1.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + 4$

خطوة 6.1.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 4$

خطوة 6.1.2.2

أضف $2$ و $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6$

خطوة 6.1.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{4}) - π) + 4$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - π) + 4$

خطوة 6.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - π) + 4$

خطوة 6.2.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} - π) + 4$

خطوة 6.2.2.1.2

لكتابة $- π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 4$

خطوة 6.2.2.1.3

اجمع $- π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 4$

خطوة 6.2.2.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π - π \cdot 2}{2}) + 4$

خطوة 6.2.2.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π - 2 π}{2}) + 4$

خطوة 6.2.2.1.5.2

اطرح $2 π$ من $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{π}{2}) + 4$

خطوة 6.2.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cdot 0 + 4$

خطوة 6.2.2.1.7

اضرب $2$ في $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0 + 4$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 4$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π$ في العبارة.

$f (π) = 2 \cos (2 (π) - π) + 4$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اطرح $π$ من $2 π$ .

$f (π) = 2 \cos (π) + 4$

خطوة 6.3.2.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (π) = 2 (- \cos (0)) + 4$

خطوة 6.3.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + 4$

خطوة 6.3.2.1.4

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 4$

خطوة 6.3.2.1.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 4$

خطوة 6.3.2.2

أضف $- 2$ و $4$ .

$f (π) = 2$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{5 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{5 π}{4}) - π) + 4$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - π) + 4$

خطوة 6.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - π) + 4$

خطوة 6.4.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π}{2} - π) + 4$

خطوة 6.4.2.1.2

لكتابة $- π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.3

اجمع $- π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{2}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π - 2 π}{2}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.5.2

اطرح $2 π$ من $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{π}{2}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cdot 0 + 4$

خطوة 6.4.2.1.8

اضرب $2$ في $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0 + 4$

خطوة 6.4.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 4$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{3 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{2}) - π) + 4$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{2}) - π) + 4$

خطوة 6.5.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (3 π - π) + 4$

خطوة 6.5.2.1.2

اطرح $π$ من $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (2 π) + 4$

خطوة 6.5.2.1.3

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (0) + 4$

خطوة 6.5.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot 1 + 4$

خطوة 6.5.2.1.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 + 4$

خطوة 6.5.2.2

أضف $2$ و $4$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6$

خطوة 6.5.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & 6 \\ \frac{3 π}{4} & 4 \\ π & 2 \\ \frac{5 π}{4} & 4 \\ \frac{3 π}{2} & 6 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $2$

الفترة: $π$

إزاحة الطور: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: $4$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & 6 \\ \frac{3 π}{4} & 4 \\ π & 2 \\ \frac{5 π}{4} & 4 \\ \frac{3 π}{2} & 6 \end{array}$

خطوة 8