حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = 5 \sin (\frac{1}{3} x - \frac{π}{3})$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \sin (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = 5$

$b = \frac{1}{3}$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $5$

خطوة 3

أوجِد فترة $5 \sin (\frac{x}{3} - \frac{π}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{3}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

خطوة 3.3

$\frac{1}{3}$ تساوي تقريبًا $0.\overline{3}$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 3$

خطوة 3.5

اضرب $3$ في $2$ .

$6 π$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{\frac{π}{3}}{\frac{1}{3}}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $\frac{π}{3} \cdot 3$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{π}{3} \cdot 3$

خطوة 4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

إزاحة الطور: $π$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $5$

الفترة: $6 π$

إزاحة الطور: $π$ ( $π$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π$ في العبارة.

$f (π) = 5 \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{3})$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (π) = 5 \sin (\frac{π - π}{3})$

خطوة 6.1.2.2

اطرح $π$ من $π$ .

$f (π) = 5 \sin (\frac{0}{3})$

خطوة 6.1.2.3

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (π) = 5 \sin (0)$

خطوة 6.1.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (π) = 5 \cdot 0$

خطوة 6.1.2.5

اضرب $5$ في $0$ .

$f (π) = 0$

خطوة 6.1.2.6

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{5 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{5 π}{2}}{3} - \frac{π}{3})$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{5 π}{2} - π}{3})$

خطوة 6.2.2.2

لكتابة $- π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}}{3})$

خطوة 6.2.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اجمع $- π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}}{3})$

خطوة 6.2.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{5 π - π \cdot 2}{2}}{3})$

خطوة 6.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{5 π - 2 π}{2}}{3})$

خطوة 6.2.2.4.2

اطرح $2 π$ من $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

خطوة 6.2.2.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{5 π}{2}) = 5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.2.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 5 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.2.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{2}) = 5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.2.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{2}) = 5 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 5 \cdot 1$

خطوة 6.2.2.8

اضرب $5$ في $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 5$

خطوة 6.2.2.9

الإجابة النهائية هي $5$ .

$5$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = 4 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4 π$ في العبارة.

$f (4 π) = 5 \sin (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3})$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (4 π) = 5 \sin (\frac{4 π - π}{3})$

خطوة 6.3.2.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$f (4 π) = 5 \sin (\frac{3 π}{3})$

خطوة 6.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (4 π) = 5 \sin (\frac{3 π}{3})$

خطوة 6.3.2.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (4 π) = 5 \sin (π)$

خطوة 6.3.2.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (4 π) = 5 \sin (0)$

خطوة 6.3.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (4 π) = 5 \cdot 0$

خطوة 6.3.2.6

اضرب $5$ في $0$ .

$f (4 π) = 0$

خطوة 6.3.2.7

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{11 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{11 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{11 π}{2}}{3} - \frac{π}{3})$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{11 π}{2} - π}{3})$

خطوة 6.4.2.2

لكتابة $- π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{11 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}}{3})$

خطوة 6.4.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

اجمع $- π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{11 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}}{3})$

خطوة 6.4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{11 π - π \cdot 2}{2}}{3})$

خطوة 6.4.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{11 π - 2 π}{2}}{3})$

خطوة 6.4.2.4.2

اطرح $2 π$ من $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

خطوة 6.4.2.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.4.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.4.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.4.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 6.4.2.7

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 6.4.2.8

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 6.4.2.9

اضرب $5 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.9.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{11 π}{2}) = 5 \cdot - 1$

خطوة 6.4.2.9.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{2}) = - 5$

خطوة 6.4.2.10

الإجابة النهائية هي $- 5$ .

$- 5$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = 7 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7 π$ في العبارة.

$f (7 π) = 5 \sin (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3})$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (7 π) = 5 \sin (\frac{7 π - π}{3})$

خطوة 6.5.2.2

اطرح $π$ من $7 π$ .

$f (7 π) = 5 \sin (\frac{6 π}{3})$

خطوة 6.5.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6 π$ .

$f (7 π) = 5 \sin (\frac{3 (2 π)}{3})$

خطوة 6.5.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (7 π) = 5 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

خطوة 6.5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (7 π) = 5 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

خطوة 6.5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (7 π) = 5 \sin (\frac{2 π}{1})$

خطوة 6.5.2.3.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (7 π) = 5 \sin (2 π)$

خطوة 6.5.2.4

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (7 π) = 5 \sin (0)$

خطوة 6.5.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (7 π) = 5 \cdot 0$

خطوة 6.5.2.6

اضرب $5$ في $0$ .

$f (7 π) = 0$

خطوة 6.5.2.7

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & 0 \\ \frac{5 π}{2} & 5 \\ 4 π & 0 \\ \frac{11 π}{2} & - 5 \\ 7 π & 0 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $5$

الفترة: $6 π$

إزاحة الطور: $π$ ( $π$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & 0 \\ \frac{5 π}{2} & 5 \\ 4 π & 0 \\ \frac{11 π}{2} & - 5 \\ 7 π & 0 \end{array}$

خطوة 8