حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = 6 | \cot (\frac{π}{12} x) |$

خطوة 1

أوجِد رأس القيمة المطلقة. في هذه الحالة، رأس $y = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ هو $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لإيجاد الإحداثي $x$ للرأس، عيّن قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة $\cot (\frac{π x}{12})$ لتصبح مساوية لـ $0$ . في هذه الحالة، $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ .

$\cot (\frac{π x}{12}) = 0$

خطوة 1.2

أوجِد حل المعادلة $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ لإيجاد الإحداثي $x$ لرأس القيمة المطلقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

خُذ ظل التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل ظل التمام.

$\frac{π x}{12} = arccot (0)$

خطوة 1.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccot (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.3

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

بسّط $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.4.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.4.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.4.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط $\frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{6}{π} π$

خطوة 1.2.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{6}{π} π$

خطوة 1.2.4.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 6$

خطوة 1.2.5

دالة ظل التمام موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{π x}{12} = π + \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1.1

بسّط $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1

بسّط $\frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.2.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

خطوة 1.2.6.2.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

خطوة 1.2.6.2.2.1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

خطوة 1.2.6.2.2.1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 2 + π)$

خطوة 1.2.6.2.2.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{6}{π} (2 π + π)$

خطوة 1.2.6.2.2.1.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1.4.1

أضف $2 π$ و $π$ .

$x = \frac{6}{π} (3 π)$

خطوة 1.2.6.2.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $π$ من $3 π$ .

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

خطوة 1.2.6.2.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

خطوة 1.2.6.2.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = 6 \cdot 3$

خطوة 1.2.6.2.2.1.4.3

اضرب $6$ في $3$ .

$x = 18$

خطوة 1.2.7

أوجِد فترة $\cot (\frac{π x}{12})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 1.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{π}{12}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| \frac{π}{12} |}$

خطوة 1.2.7.3

$\frac{π}{12}$ تساوي تقريبًا $0.26179938$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{π}{\frac{π}{12}}$

خطوة 1.2.7.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$π \frac{12}{π}$

خطوة 1.2.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$π \frac{12}{π}$

خطوة 1.2.7.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$12$

خطوة 1.2.8

فترة دالة $\cot (\frac{π x}{12})$ هي $12$ ، لذا تتكرر القيم كل $12$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 6 + 12 n, 18 + 12 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.9

وحّد الإجابات.

$x = 6 + 12 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

استبدِل المتغير $x$ بـ $6 + 12 n$ في العبارة.

$y = 6 | \cot (\frac{π (6 + 12 n)}{12}) |$

خطوة 1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6 + 12 n$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $6$ من $π (6 + 12 n)$ .

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{12}) |$

خطوة 1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 (2)}) |$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 \cdot 2}) |$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

خطوة 1.5

رأس القيمة المطلقة هو $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ بحيث يمكن انتقاء قائمة قيم $x$ لإيجاد قائمة النقاط، والتي ستساعد في تمثيل دالة القيمة المطلقة بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\cot (\frac{π x}{12})$ بحيث تصبح مساوية لـ $π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\frac{π x}{12} = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

خطوة 2.2.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

بسّط $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

خطوة 2.2.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

خطوة 2.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π n)$

خطوة 2.2.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

خطوة 2.2.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

خطوة 2.2.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1

أخرِج العامل $π$ من $π n$ .

$x = \frac{12}{π} (π (n))$

خطوة 2.2.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

خطوة 2.2.2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = 12 n$

خطوة 2.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 12 n}$ ، لأي عدد صحيح $n$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 12 n}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

يمكن تمثيل القيمة المطلقة بيانيًا باستخدام النقاط الواقعة حول الرأس $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 + 12 n & 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

خطوة 4