حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$

خطوة 1

أوجِد نطاق $y = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ بحيث يمكن انتقاء قائمة قيم $x$ لإيجاد قائمة النقاط، والتي ستساعد في رسم الدالة الجذرية بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\log_{3} (11 - x)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$11 - x > 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $11$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x > - 11$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $- x > - 11$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x > - 11$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 11}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} < \frac{- 11}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x < \frac{- 11}{- 1}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اقسِم $- 11$ على $- 1$ .

$x < 11$

خطوة 1.3

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x - 5}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x - 5 \geq 0$

خطوة 1.4

أضِف $5$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x \geq 5$

خطوة 1.5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[5, 11)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | 5 \leq x < 11}$

ترميز الفترة:

$[5, 11)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | 5 \leq x < 11}$

خطوة 2

لإيجاد نقاط النهاية، عوّض بحدود قيم $x$ من النطاق في $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f (5) = \sqrt{(5) - 5} - \log_{3} (11 - (5))$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اطرح $5$ من $5$ .

$f (5) = \sqrt{0} - \log_{3} (11 - (5))$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$f (5) = \sqrt{0^{2}} - \log_{3} (11 - (5))$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (5) = 0 - \log_{3} (11 - (5))$

خطوة 2.2.1.4

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f (5) = 0 - \log_{3} (11 - 5)$

خطوة 2.2.1.5

اطرح $5$ من $11$ .

$f (5) = 0 - \log_{3} (6)$

خطوة 2.2.2

اطرح $\log_{3} (6)$ من $0$ .

$f (5) = - \log_{3} (6)$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي $- \log_{3} (6)$ .

$- \log_{3} (6)$

خطوة 2.3

استبدِل المتغير $x$ بـ $11$ في العبارة.

$f (11) = \sqrt{(11) - 5} - \log_{3} (11 - (11))$

خطوة 2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اطرح $5$ من $11$ .

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (11 - (11))$

خطوة 2.4.2

اضرب $- 1$ في $11$ .

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (11 - 11)$

خطوة 2.4.3

اطرح $11$ من $11$ .

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (0)$

خطوة 2.4.4

لوغاريتم الصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

$f (11) = Undefined$

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (0)$

خطوة 2.5

لوغاريتم الصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

$f (11) = Undefined$

غير معرّف

خطوة 3

نقاط النهاية هي $(5, - \log_{3} (6)), (11, Undefined)$ .

$(5, - \log_{3} (6)), (11, Undefined)$

خطوة 4

حدد بضع قيم $x$ من النطاق. سيكون من المفيد أكثر تحديد القيم بحيث تكون مجاورة لقيمة $x$ لنقطة نهاية العبارة الجذرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $6$ في $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(6, 1 - \log_{3} (5))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f (6) = \sqrt{(6) - 5} - \log_{3} (11 - (6))$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

اطرح $5$ من $6$ .

$f (6) = \sqrt{1} - \log_{3} (11 - (6))$

خطوة 4.1.2.1.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (6) = 1 - \log_{3} (11 - (6))$

خطوة 4.1.2.1.3

اضرب $- 1$ في $6$ .

$f (6) = 1 - \log_{3} (11 - 6)$

خطوة 4.1.2.1.4

اطرح $6$ من $11$ .

$f (6) = 1 - \log_{3} (5)$

خطوة 4.1.2.2

الإجابة النهائية هي $1 - \log_{3} (5)$ .

$y = 1 - \log_{3} (5)$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $7$ في $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(7, \sqrt{2} - \log_{3} (4))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f (7) = \sqrt{(7) - 5} - \log_{3} (11 - (7))$

خطوة 4.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

اطرح $5$ من $7$ .

$f (7) = \sqrt{2} - \log_{3} (11 - (7))$

خطوة 4.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $7$ .

$f (7) = \sqrt{2} - \log_{3} (11 - 7)$

خطوة 4.2.2.1.3

اطرح $7$ من $11$ .

$f (7) = \sqrt{2} - \log_{3} (4)$

خطوة 4.2.2.2

الإجابة النهائية هي $\sqrt{2} - \log_{3} (4)$ .

$y = \sqrt{2} - \log_{3} (4)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $8$ في $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(8, \sqrt{3} - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f (8) = \sqrt{(8) - 5} - \log_{3} (11 - (8))$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

اطرح $5$ من $8$ .

$f (8) = \sqrt{3} - \log_{3} (11 - (8))$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$f (8) = \sqrt{3} - \log_{3} (11 - 8)$

خطوة 4.3.2.1.3

اطرح $8$ من $11$ .

$f (8) = \sqrt{3} - \log_{3} (3)$

خطوة 4.3.2.1.4

أساس اللوغاريتم $3$ لـ $3$ هو $1$ .

$f (8) = \sqrt{3} - 1 \cdot 1$

خطوة 4.3.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (8) = \sqrt{3} - 1$

خطوة 4.3.2.2

الإجابة النهائية هي $\sqrt{3} - 1$ .

$y = \sqrt{3} - 1$

خطوة 4.4

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $9$ في $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(9, 2 - \log_{3} (2))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $9$ في العبارة.

$f (9) = \sqrt{(9) - 5} - \log_{3} (11 - (9))$

خطوة 4.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1

اطرح $5$ من $9$ .

$f (9) = \sqrt{4} - \log_{3} (11 - (9))$

خطوة 4.4.2.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (9) = \sqrt{2^{2}} - \log_{3} (11 - (9))$

خطوة 4.4.2.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (9) = 2 - \log_{3} (11 - (9))$

خطوة 4.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f (9) = 2 - \log_{3} (11 - 9)$

خطوة 4.4.2.1.5

اطرح $9$ من $11$ .

$f (9) = 2 - \log_{3} (2)$

خطوة 4.4.2.2

الإجابة النهائية هي $2 - \log_{3} (2)$ .

$y = 2 - \log_{3} (2)$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $10$ في $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(10, \sqrt{5})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $10$ في العبارة.

$f (10) = \sqrt{(10) - 5} - \log_{3} (11 - (10))$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

اطرح $5$ من $10$ .

$f (10) = \sqrt{5} - \log_{3} (11 - (10))$

خطوة 4.5.2.1.2

اضرب $- 1$ في $10$ .

$f (10) = \sqrt{5} - \log_{3} (11 - 10)$

خطوة 4.5.2.1.3

اطرح $10$ من $11$ .

$f (10) = \sqrt{5} - \log_{3} (1)$

خطوة 4.5.2.1.4

أساس اللوغاريتم $3$ لـ $1$ هو $0$ .

$f (10) = \sqrt{5} - 0$

خطوة 4.5.2.1.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (10) = \sqrt{5} + 0$

خطوة 4.5.2.2

أضف $\sqrt{5}$ و $0$ .

$f (10) = \sqrt{5}$

خطوة 4.5.2.3

الإجابة النهائية هي $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

خطوة 4.6

يمكن تمثيل الجذر التربيعي بيانيًا باستخدام النقاط الواقعة حول الرأس $(5, - \log_{3} (6)), (11, Undefined), (6, - 0.46), (7, 0.15), (8, 0.73), (9, 1.37), (10, 2.24)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & - \log_{3} (6) \\ 6 & - 0.46 \\ 7 & 0.15 \\ 8 & 0.73 \\ 9 & 1.37 \\ 10 & 2.24 \\ 11 & Undefined \end{array}$

خطوة 5