حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (\frac{19 π}{12})$

خطوة 1

أولاً، قسِّم الزاوية إلى زاويتين تكون فيهما قيم الدوال المثلثية الست معروفة. في هذه الحالة، يمكن تقسيم $\frac{19 π}{12}$ إلى $\frac{5 π}{4} + \frac{π}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π}{4} + \frac{π}{3})$

خطوة 2

استخدِم قاعدة الجمع لدالة المماس لتبسيط العبارة. تنص القاعدة على أن $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{5 π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

خطوة 3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

خطوة 3.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

خطوة 3.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

خطوة 4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

خطوة 4.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1 \tan (\frac{π}{3})}$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \tan (\frac{π}{3})}$

خطوة 4.4

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة $- 1 \sqrt{3}$ بالصيغة $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

خطوة 5

اضرب $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ في $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

خطوة 6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ في $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

خطوة 6.2

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ارفع $1 + \sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 7.2

ارفع $1 + \sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

خطوة 7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

خطوة 7.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

خطوة 8

أعِد كتابة ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ بالصيغة $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 9

وسّع $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 10

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 10.1.2

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 10.1.3

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 10.1.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

خطوة 10.1.5

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

خطوة 10.1.6

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

خطوة 10.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

خطوة 10.2

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 10.3

أضف $\sqrt{3}$ و $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 11

احذِف العامل المشترك لـ $4 + 2 \sqrt{3}$ و $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 11.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 11.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 11.4

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

خطوة 12

أعِد كتابة $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ بالصيغة $- (2 + \sqrt{3})$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

خطوة 13

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

خطوة 14

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- 2 - \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$- 3.73205080 \dots$