حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot \cos (3 x + 3 π) - 3$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = - 3 π$

$d = - 3$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $\frac{1}{2}$

خطوة 3

أوجِد الفترة باستخدام القاعدة $\frac{2 π}{| b |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد فترة $- \frac{\cos (3 x + 3 π)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.1.2

استبدِل $b$ بـ $3$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

خطوة 3.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

خطوة 3.2

أوجِد فترة $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.2

استبدِل $b$ بـ $3$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

خطوة 3.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

خطوة 3.3

فترة جمع أو طرح الدوال المثلثية هي القيمة القصوى للفترات الفردية.

$\frac{2 π}{3}$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{- 3 π}{3}$

خطوة 4.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 π$ .

إزاحة الطور: $\frac{3 (- π)}{3}$

خطوة 4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

إزاحة الطور: $\frac{3 (- π)}{3 (1)}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{3 (- π)}{3 \cdot 1}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

إزاحة الطور: $\frac{- π}{1}$

خطوة 4.3.2.4

اقسِم $- π$ على $1$ .

إزاحة الطور: $- π$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $\frac{1}{2}$

الفترة: $\frac{2 π}{3}$

إزاحة الطور: $- π$ ( $π$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: $- 3$

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = - π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- π$ في العبارة.

$f (- π) = - \frac{\cos (3 (- π) + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f (- π) = - \frac{\cos (- 3 π + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.1.2.1.2

أضف $- 3 π$ و $3 π$ .

$f (- π) = - \frac{\cos (0)}{2} - 3$

خطوة 6.1.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- π) = - \frac{1}{2} - 3$

خطوة 6.1.2.2

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (- π) = - \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.1.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (- π) = - \frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- π) = \frac{- 1 - 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.5.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$f (- π) = \frac{- 1 - 6}{2}$

خطوة 6.1.2.5.2

اطرح $6$ من $- 1$ .

$f (- π) = \frac{- 7}{2}$

خطوة 6.1.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- π) = - \frac{7}{2}$

خطوة 6.1.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{7}{2}$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = - \frac{5 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{5 π}{6}$ في العبارة.

$f (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\cos (3 (- \frac{5 π}{6}) + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5 π}{6}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\cos (3 (\frac{- 5 π}{6}) + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.2.2.1.1.1.1.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\cos (3 (\frac{- 5 π}{3 (2)}) + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.2.2.1.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\cos (3 (\frac{- 5 π}{3 \cdot 2}) + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.2.2.1.1.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\cos (\frac{- 5 π}{2} + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.2.2.1.1.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\cos (- \frac{5 π}{2} + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.2.2.1.1.2

لكتابة $3 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\cos (- \frac{5 π}{2} + 3 π \cdot \frac{2}{2})}{2} - 3$

خطوة 6.2.2.1.1.3

اجمع $3 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\cos (- \frac{5 π}{2} + \frac{3 π \cdot 2}{2})}{2} - 3$

خطوة 6.2.2.1.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\cos (\frac{- 5 π + 3 π \cdot 2}{2})}{2} - 3$

خطوة 6.2.2.1.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.5.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\cos (\frac{- 5 π + 6 π}{2})}{2} - 3$

خطوة 6.2.2.1.1.5.2

أضف $- 5 π$ و $6 π$ .

$f (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2} - 3$

خطوة 6.2.2.1.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{0}{2} - 3$

خطوة 6.2.2.1.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (- \frac{5 π}{6}) = - 0 - 3$

خطوة 6.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (- \frac{5 π}{6}) = 0 - 3$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $3$ من $0$ .

$f (- \frac{5 π}{6}) = - 3$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{2 π}{3}$ في العبارة.

$f (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{\cos (3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2 π}{3}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{\cos (3 (\frac{- 2 π}{3}) + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.3.2.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{\cos (3 (\frac{- 2 π}{3}) + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.3.2.1.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{\cos (- 2 π + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.3.2.1.1.2

أضف $- 2 π$ و $3 π$ .

$f (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{\cos (π)}{2} - 3$

خطوة 6.3.2.1.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{- \cos (0)}{2} - 3$

خطوة 6.3.2.1.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{- 1 \cdot 1}{2} - 3$

خطوة 6.3.2.1.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{- 1}{2} - 3$

خطوة 6.3.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{2 π}{3}) = \frac{1}{2} - 3$

خطوة 6.3.2.1.3

اضرب $- - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- \frac{2 π}{3}) = 1 (\frac{1}{2}) - 3$

خطوة 6.3.2.1.3.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$f (- \frac{2 π}{3}) = \frac{1}{2} - 3$

خطوة 6.3.2.2

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{2 π}{3}) = \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.3.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{2 π}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{2 π}{3}) = \frac{1 - 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.5.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$f (- \frac{2 π}{3}) = \frac{1 - 6}{2}$

خطوة 6.3.2.5.2

اطرح $6$ من $1$ .

$f (- \frac{2 π}{3}) = \frac{- 5}{2}$

خطوة 6.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{5}{2}$

خطوة 6.3.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{2}$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (- \frac{π}{2}) = - \frac{\cos (3 (- \frac{π}{2}) + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1.1

اضرب $3 (- \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1.1.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f (- \frac{π}{2}) = - \frac{\cos (- 3 \frac{π}{2} + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.4.2.1.1.1.1.2

اجمع $- 3$ و $\frac{π}{2}$ .

$f (- \frac{π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{- 3 π}{2} + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.4.2.1.1.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{π}{2}) = - \frac{\cos (- \frac{3 π}{2} + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.4.2.1.1.2

لكتابة $3 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{2}) = - \frac{\cos (- \frac{3 π}{2} + 3 π \cdot \frac{2}{2})}{2} - 3$

خطوة 6.4.2.1.1.3

اجمع $3 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{2}) = - \frac{\cos (- \frac{3 π}{2} + \frac{3 π \cdot 2}{2})}{2} - 3$

خطوة 6.4.2.1.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{- 3 π + 3 π \cdot 2}{2})}{2} - 3$

خطوة 6.4.2.1.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.5.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f (- \frac{π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{- 3 π + 6 π}{2})}{2} - 3$

خطوة 6.4.2.1.1.5.2

أضف $- 3 π$ و $6 π$ .

$f (- \frac{π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{2} - 3$

خطوة 6.4.2.1.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (- \frac{π}{2}) = - \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2} - 3$

خطوة 6.4.2.1.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (- \frac{π}{2}) = - \frac{0}{2} - 3$

خطوة 6.4.2.1.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (- \frac{π}{2}) = - 0 - 3$

خطوة 6.4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (- \frac{π}{2}) = 0 - 3$

خطوة 6.4.2.2

اطرح $3$ من $0$ .

$f (- \frac{π}{2}) = - 3$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{π}{3}$ في العبارة.

$f (- \frac{π}{3}) = - \frac{\cos (3 (- \frac{π}{3}) + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{3}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{π}{3}) = - \frac{\cos (3 (\frac{- π}{3}) + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{π}{3}) = - \frac{\cos (3 (\frac{- π}{3}) + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.5.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{π}{3}) = - \frac{\cos (- π + 3 π)}{2} - 3$

خطوة 6.5.2.1.2

أضف $- π$ و $3 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - \frac{\cos (2 π)}{2} - 3$

خطوة 6.5.2.1.3

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - \frac{\cos (0)}{2} - 3$

خطوة 6.5.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2} - 3$

خطوة 6.5.2.2

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.5.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{- 1 - 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.5.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.5.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{- 1 - 6}{2}$

خطوة 6.5.2.5.2

اطرح $6$ من $- 1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{- 7}{2}$

خطوة 6.5.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{π}{3}) = - \frac{7}{2}$

خطوة 6.5.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{7}{2}$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - \frac{7}{2} \\ - \frac{5 π}{6} & - 3 \\ - \frac{2 π}{3} & - \frac{5}{2} \\ - \frac{π}{2} & - 3 \\ - \frac{π}{3} & - \frac{7}{2} \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $\frac{1}{2}$

الفترة: $\frac{2 π}{3}$

إزاحة الطور: $- π$ ( $π$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: $- 3$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - \frac{7}{2} \\ - \frac{5 π}{6} & - 3 \\ - \frac{2 π}{3} & - \frac{5}{2} \\ - \frac{π}{2} & - 3 \\ - \frac{π}{3} & - \frac{7}{2} \end{array}$

خطوة 8