حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = | 2 \cos (\frac{π x}{2}) |$

خطوة 1

أوجِد رأس القيمة المطلقة. في هذه الحالة، رأس $y = 2 | \cos (\frac{π x}{2}) |$ هو $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لإيجاد الإحداثي $x$ للرأس، عيّن قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة $\cos (\frac{π x}{2})$ لتصبح مساوية لـ $0$ . في هذه الحالة، $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = 0$

خطوة 1.2

أوجِد حل المعادلة $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ لإيجاد الإحداثي $x$ لرأس القيمة المطلقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$\frac{π x}{2} = \arccos (0)$

خطوة 1.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.3

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$π x = π$

خطوة 1.2.4

اقسِم كل حد في $π x = π$ على $π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اقسِم كل حد في $π x = π$ على $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

خطوة 1.2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{π}{π}$

خطوة 1.2.4.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 1$

خطوة 1.2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1.1

بسّط $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1

بسّط $\frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.2.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 1.2.6.2.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 1.2.6.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 1.2.6.2.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{1}{π} (2 π \cdot 2 - π)$

خطوة 1.2.6.2.2.1.5

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{1}{π} (4 π - π)$

خطوة 1.2.6.2.2.1.6

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{1}{π} (3 π)$

خطوة 1.2.6.2.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1.7.1

أخرِج العامل $π$ من $3 π$ .

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

خطوة 1.2.6.2.2.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

خطوة 1.2.6.2.2.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = 3$

خطوة 1.2.7

أوجِد فترة $\cos (\frac{π x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{π}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

خطوة 1.2.7.3

$\frac{π}{2}$ تساوي تقريبًا $1.57079632$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

خطوة 1.2.7.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \frac{2}{π}$

خطوة 1.2.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.5.1

أخرِج العامل $π$ من $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

خطوة 1.2.7.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

خطوة 1.2.7.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 2$

خطوة 1.2.7.6

اضرب $2$ في $2$ .

$4$

خطوة 1.2.8

فترة دالة $\cos (\frac{π x}{2})$ هي $4$ ، لذا تتكرر القيم كل $4$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1 + 4 n, 3 + 4 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.9

وحّد الإجابات.

$x = 1 + 2 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

استبدِل المتغير $x$ بـ $1 + 2 n$ في العبارة.

$y = 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

خطوة 1.4

رأس القيمة المطلقة هو $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

يمكن تمثيل القيمة المطلقة بيانيًا باستخدام النقاط الواقعة حول الرأس $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 + 2 n & 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

خطوة 4