حساب المثلثات الأمثلة

$9 x^{2} - 4 y^{2} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{9}} - \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(0, 0)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 5.3.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{2^{2}}}$

خطوة 5.3.6

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{4}}$

خطوة 5.3.7

لكتابة $\frac{1}{9}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

خطوة 5.3.8

لكتابة $\frac{1}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

خطوة 5.3.9

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $36$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.9.1

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

خطوة 5.3.9.2

اضرب $9$ في $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

خطوة 5.3.9.3

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9}}$

خطوة 5.3.9.4

اضرب $4$ في $9$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{36}}$

خطوة 5.3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{4 + 9}{36}}$

خطوة 5.3.11

أضف $4$ و $9$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}}$

خطوة 5.3.12

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{13}{36}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$

خطوة 5.3.13

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.13.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}}$

خطوة 5.3.13.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{\sqrt{13}}{6}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(\frac{1}{3}, 0)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- \frac{1}{3}, 0)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h \pm a, k)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(\frac{1}{3}, 0), (- \frac{1}{3}, 0)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(\frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- \frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(\frac{\sqrt{13}}{6}, 0), (- \frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}}{\frac{1}{3}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

خطوة 8.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

خطوة 8.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

خطوة 8.3.4

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

خطوة 8.3.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} \cdot 3$

خطوة 8.3.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{2^{2}}} \cdot 3$

خطوة 8.3.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{4}} \cdot 3$

خطوة 8.3.8

لكتابة $\frac{1}{9}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}} \cdot 3$

خطوة 8.3.9

لكتابة $\frac{1}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

خطوة 8.3.10

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $36$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.10.1

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

خطوة 8.3.10.2

اضرب $9$ في $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

خطوة 8.3.10.3

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9}} \cdot 3$

خطوة 8.3.10.4

اضرب $4$ في $9$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{36}} \cdot 3$

خطوة 8.3.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{4 + 9}{36}} \cdot 3$

خطوة 8.3.12

أضف $4$ و $9$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}} \cdot 3$

خطوة 8.3.13

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{13}{36}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}} \cdot 3$

خطوة 8.3.14

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.14.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 3$

خطوة 8.3.14.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{\sqrt{13}}{6} \cdot 3$

خطوة 8.3.15

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.15.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{\sqrt{13}}{3 (2)} \cdot 3$

خطوة 8.3.15.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{13}}{3 \cdot 2} \cdot 3$

خطوة 8.3.15.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{13}}}{6}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{1}{6}$

خطوة 9.3.2

اجمع.

$\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

خطوة 9.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

خطوة 9.3.3.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{13} \cdot 6}$

خطوة 9.3.3.3

انقُل $6$ إلى يسار $\sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{6 \sqrt{13}}$

خطوة 9.3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6 \sqrt{13}}$

خطوة 9.3.5

اضرب $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ في $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

خطوة 9.3.6

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.6.1

اضرب $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ في $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \sqrt{13} \sqrt{13}}$

خطوة 9.3.6.2

انقُل $\sqrt{13}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

خطوة 9.3.6.3

ارفع $\sqrt{13}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}$

خطوة 9.3.6.4

ارفع $\sqrt{13}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}$

خطوة 9.3.6.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.6.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{2}}$

خطوة 9.3.6.7

أعِد كتابة ${\sqrt{13}}^{2}$ بالصيغة $13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.6.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{13}$ في صورة $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.6.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.6.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.6.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.6.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.6.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{1}}$

خطوة 9.3.6.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13}$

خطوة 9.3.7

اضرب $6$ في $13$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$

خطوة 9.3.8

اضرب $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.8.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{\sqrt{13}}{78}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{4 \cdot 78}$

خطوة 9.3.8.2

اضرب $4$ في $78$ .

$\frac{\sqrt{13}}{312}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح على اليسار واليمين.

$y = \pm \frac{3}{2} x + 0$

خطوة 11

بسّط $\frac{3}{2} x + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أضف $\frac{3}{2} x$ و $0$ .

$y = \frac{3}{2} x$

خطوة 11.2

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x$ .

$y = \frac{3 x}{2}$

خطوة 12

بسّط $- \frac{3}{2} x + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $- \frac{3}{2} x$ و $0$ .

$y = - \frac{3}{2} x$

خطوة 12.2

اجمع $x$ و $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2}$

خطوة 12.3

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2}$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{3 x}{2}, y = - \frac{3 x}{2}$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(0, 0)$

الرؤوس: $(\frac{1}{3}, 0), (- \frac{1}{3}, 0)$

البؤر: $(\frac{\sqrt{13}}{6}, 0), (- \frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

المعلمة البؤرية: $\frac{\sqrt{13}}{312}$

خطوط التقارب: $y = \frac{3 x}{2}$ ، $y = - \frac{3 x}{2}$

خطوة 15