حساب المثلثات الأمثلة

$- 8 \cos (4 π x - π)$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = - 8$

$b = 4 π$

$c = π$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $8$

خطوة 3

أوجِد فترة $- 8 \cos (4 π x - π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $4 π$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 4 π |}$

خطوة 3.3

$4 π$ تساوي تقريبًا $12.56637061$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{4 π}$

خطوة 3.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4 π}$

خطوة 3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 π$ .

$\frac{2 (π)}{2 (2 π)}$

خطوة 3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2 (2 π)}$

خطوة 3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π}{2 π}$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π}{2 π}$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2}$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{π}{4 π}$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{π}{4 π}$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

إزاحة الطور: $\frac{1}{4}$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $8$

الفترة: $\frac{1}{2}$

إزاحة الطور: $\frac{1}{4}$ ( $\frac{1}{4}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = - 8 \cos (4 π (\frac{1}{4}) - π)$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 π$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 8 \cos (4 (π) (\frac{1}{4}) - π)$

خطوة 6.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{4}) = - 8 \cos (4 π (\frac{1}{4}) - π)$

خطوة 6.1.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = - 8 \cos (π - π)$

خطوة 6.1.2.2

اطرح $π$ من $π$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 8 \cos (0)$

خطوة 6.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 8 \cdot 1$

خطوة 6.1.2.4

اضرب $- 8$ في $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 8$

خطوة 6.1.2.5

الإجابة النهائية هي $- 8$ .

$- 8$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{3}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{8}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cos (4 π (\frac{3}{8}) - π)$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 π$ .

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cos (4 (π) (\frac{3}{8}) - π)$

خطوة 6.2.2.1.1.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cos (4 (π) (\frac{3}{4 (2)}) - π)$

خطوة 6.2.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cos (4 π (\frac{3}{4 \cdot 2}) - π)$

خطوة 6.2.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cos (π (\frac{3}{2}) - π)$

خطوة 6.2.2.1.2

اجمع $π$ و $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} - π)$

خطوة 6.2.2.1.3

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cos (\frac{3 π}{2} - π)$

خطوة 6.2.2.2

لكتابة $- π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cos (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 6.2.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اجمع $- π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cos (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

خطوة 6.2.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cos (\frac{3 π - π \cdot 2}{2})$

خطوة 6.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cos (\frac{3 π - 2 π}{2})$

خطوة 6.2.2.4.2

اطرح $2 π$ من $3 π$ .

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{3}{8}) = - 8 \cdot 0$

خطوة 6.2.2.6

اضرب $- 8$ في $0$ .

$f (\frac{3}{8}) = 0$

خطوة 6.2.2.7

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{2}) = - 8 \cos (4 π (\frac{1}{2}) - π)$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 π$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 8 \cos (2 (2 π) (\frac{1}{2}) - π)$

خطوة 6.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{2}) = - 8 \cos (2 (2 π) (\frac{1}{2}) - π)$

خطوة 6.3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{2}) = - 8 \cos (2 π - π)$

خطوة 6.3.2.2

اطرح $π$ من $2 π$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 8 \cos (π)$

خطوة 6.3.2.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{1}{2}) = - 8 (- \cos (0))$

خطوة 6.3.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 8 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 6.3.2.5

اضرب $- 8 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.5.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 8 \cdot - 1$

خطوة 6.3.2.5.2

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8$

خطوة 6.3.2.6

الإجابة النهائية هي $8$ .

$8$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{5}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5}{8}$ في العبارة.

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (4 π (\frac{5}{8}) - π)$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 π$ .

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (4 (π) (\frac{5}{8}) - π)$

خطوة 6.4.2.1.1.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (4 (π) (\frac{5}{4 (2)}) - π)$

خطوة 6.4.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (4 π (\frac{5}{4 \cdot 2}) - π)$

خطوة 6.4.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (π (\frac{5}{2}) - π)$

خطوة 6.4.2.1.2

اجمع $π$ و $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (\frac{π \cdot 5}{2} - π)$

خطوة 6.4.2.1.3

انقُل $5$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (\frac{5 π}{2} - π)$

خطوة 6.4.2.2

لكتابة $- π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 6.4.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

اجمع $- π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

خطوة 6.4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{2})$

خطوة 6.4.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (\frac{5 π - 2 π}{2})$

خطوة 6.4.2.4.2

اطرح $2 π$ من $5 π$ .

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (\frac{3 π}{2})$

خطوة 6.4.2.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{5}{8}) = - 8 \cdot 0$

خطوة 6.4.2.7

اضرب $- 8$ في $0$ .

$f (\frac{5}{8}) = 0$

خطوة 6.4.2.8

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{3}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = - 8 \cos (4 π (\frac{3}{4}) - π)$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 8 \cos (4 (π) (\frac{3}{4}) - π)$

خطوة 6.5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{4}) = - 8 \cos (4 π (\frac{3}{4}) - π)$

خطوة 6.5.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = - 8 \cos (π \cdot 3 - π)$

خطوة 6.5.2.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 8 \cos (3 π - π)$

خطوة 6.5.2.2

اطرح $π$ من $3 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 8 \cos (2 π)$

خطوة 6.5.2.3

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 8 \cos (0)$

خطوة 6.5.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 8 \cdot 1$

خطوة 6.5.2.5

اضرب $- 8$ في $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 8$

خطوة 6.5.2.6

الإجابة النهائية هي $- 8$ .

$- 8$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{1}{4} & - 8 \\ \frac{3}{8} & 0 \\ \frac{1}{2} & 8 \\ \frac{5}{8} & 0 \\ \frac{3}{4} & - 8 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $8$

الفترة: $\frac{1}{2}$

إزاحة الطور: $\frac{1}{4}$ ( $\frac{1}{4}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{1}{4} & - 8 \\ \frac{3}{8} & 0 \\ \frac{1}{2} & 8 \\ \frac{5}{8} & 0 \\ \frac{3}{4} & - 8 \end{array}$

خطوة 8