حساب المثلثات الأمثلة

$\log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$

خطوة 1

أوجِد نطاق $y = \log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$ بحيث يمكن انتقاء قائمة قيم $x$ لإيجاد قائمة النقاط، والتي ستساعد في رسم الدالة الجذرية بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1} > 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الضرب التبادلي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

استخدِم الضرب التبادلي بتعيين قيمة حاصل ضرب بسط الطرف الأيمن وقاسم الطرف الأيسر بحيث تصبح مساوية لقيمة حاصل ضرب بسط الطرف الأيسر وقاسم الطرف الأيمن.

$0 \cdot (x - 1) > 81 \sqrt{x - 1}$

خطوة 1.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1

اضرب $0$ في $x - 1$ .

$0 > 81 \sqrt{x - 1}$

خطوة 1.2.2

أعِد الكتابة بحيث تصبح $81 \sqrt{x - 1}$ في الطرف الأيسر للمتباينة.

$81 \sqrt{x - 1} < 0$

خطوة 1.2.3

لحذف الجذر في الطرف الأيسر للمتباينة، ربّع كلا طرفي المتباينة.

${(81 \sqrt{x - 1})}^{2} < 0^{2}$

خطوة 1.2.4

بسّط كل طرف من طرفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 1}$ في صورة ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط ${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$81^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

ارفع $81$ إلى القوة $2$ .

$6561 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$6561 {(x - 1)}^{1} < 0^{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.4

بسّط.

$6561 (x - 1) < 0^{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$6561 x + 6561 \cdot - 1 < 0^{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.6

اضرب $6561$ في $- 1$ .

$6561 x - 6561 < 0^{2}$

خطوة 1.2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$6561 x - 6561 < 0$

خطوة 1.2.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أضِف $6561$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$6561 x < 6561$

خطوة 1.2.5.2

اقسِم كل حد في $6561 x < 6561$ على $6561$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

اقسِم كل حد في $6561 x < 6561$ على $6561$ .

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

خطوة 1.2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6561$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

خطوة 1.2.5.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x < \frac{6561}{6561}$

خطوة 1.2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1

اقسِم $6561$ على $6561$ .

$x < 1$

خطوة 1.2.6

أوجِد نطاق $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x - 1}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x - 1 \geq 0$

خطوة 1.2.6.2

أضِف $1$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x \geq 1$

خطوة 1.2.6.3

عيّن قيمة القاسم في $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.6.4

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.2.6.5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(1, \infty)$

خطوة 1.2.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x > 1$

خطوة 1.3

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x - 1}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x - 1 \geq 0$

خطوة 1.4

أضِف $1$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x \geq 1$

خطوة 1.5

عيّن قيمة القاسم في $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x - 1 = 0$

خطوة 1.6

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.7

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(1, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x > 1}$

ترميز الفترة:

$(1, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x > 1}$

خطوة 2

لإيجاد نقطة نهاية العبارة الجذرية، عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ ، وهي أدنى قيمة في النطاق، في $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{(1) - 1})$

خطوة 2.2

اطرح $1$ من $1$ .

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{0})$

خطوة 2.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

$f (1) = Undefined$

غير معرّف

خطوة 3

نقطة نهاية العبارة الجذرية هي $(1, Undefined)$ .

$(1, Undefined)$

خطوة 4

حدد بضع قيم $x$ من النطاق. سيكون من المفيد أكثر تحديد القيم بحيث تكون مجاورة لقيمة $x$ لنقطة نهاية العبارة الجذرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ في $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(2, 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(2) - 1}}{(2) - 1})$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

اطرح $1$ من $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{1}}{2 - 1})$

خطوة 4.1.2.1.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{2 - 1})$

خطوة 4.1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اطرح $1$ من $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{1})$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $81$ في $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81}{1})$

خطوة 4.1.2.3

أساس اللوغاريتم $3$ لـ $\frac{81}{1}$ هو $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

أعِد الكتابة في صورة معادلة.

$\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$

خطوة 4.1.2.3.2

أعِد كتابة $\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b$ لا يساوي $1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{81}{1}$

خطوة 4.1.2.3.3

أنشئ عبارات متكافئة في المعادلة بحيث تكون جميعها ذات أساسات متساوية.

$3^{x} = 3^{4}$

خطوة 4.1.2.3.4

بما أن العددين متساويان في الأساس، تتساوى العبارتان فقط إذا تساوى الأُسان أيضًا.

$x = 4$

خطوة 4.1.2.3.5

المتغير $x$ يساوي $4$ .

$f (2) = 4$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $4$ .

$y = 4$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3$ في $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(3, \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(3) - 1}}{(3) - 1})$

خطوة 4.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $1$ من $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{3 - 1})$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $1$ من $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

خطوة 4.2.2.3

الإجابة النهائية هي $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$ .

$y = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

خطوة 4.3

يمكن تمثيل الجذر التربيعي بيانيًا باستخدام النقاط الواقعة حول الرأس $(1, Undefined), (2, 4), (3, 3.68)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 4 \\ 3 & 3.68 \end{array}$

خطوة 5