حساب المثلثات الأمثلة

$\log_{2} (2 x^{2} + 24 x + 72)$

خطوة 1

أوجِد خطوط التقارب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المتغير المستقل للوغاريتم بحيث تصبح مساوية للصفر.

$2 x^{2} + 24 x + 72 = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 24 x + 72$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 24 x + 72 = 0$

خطوة 1.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $24 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (12 x) + 72 = 0$

خطوة 1.2.1.1.3

أخرِج العامل $2$ من $72$ .

$2 x^{2} + 2 (12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

خطوة 1.2.1.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 (12 x)$ .

$2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

خطوة 1.2.1.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

خطوة 1.2.1.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

خطوة 1.2.1.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

خطوة 1.2.1.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

خطوة 1.2.1.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 6$ .

$2 {(x + 6)}^{2} = 0$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ على $2$ .

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اقسِم ${(x + 6)}^{2}$ على $1$ .

${(x + 6)}^{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

خطوة 1.2.3

عيّن قيمة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 6 = 0$

خطوة 1.2.4

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x = - 6$

خطوة 1.3

يقع خط التقارب الرأسي عند $x = - 6$ .

خط التقارب الرأسي: $x = - 6$

خطوة 2

أوجِد النقطة في $x = - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f (- 5) = \log_{2} (2 {(- 5)}^{2} + 24 (- 5) + 72)$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2 \cdot 25 + 24 (- 5) + 72)$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $25$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 + 24 (- 5) + 72)$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $24$ في $- 5$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 - 120 + 72)$

خطوة 2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اطرح $120$ من $50$ .

$f (- 5) = \log_{2} (- 70 + 72)$

خطوة 2.2.2.2

أضف $- 70$ و $72$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2)$

خطوة 2.2.3

أساس اللوغاريتم $2$ لـ $2$ هو $1$ .

$f (- 5) = 1$

خطوة 2.2.4

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 2.3

حوّل $1$ إلى رقم عشري.

$y = 1$

خطوة 3

أوجِد النقطة في $x = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f (- 4) = \log_{2} (2 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4) + 72)$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f (- 4) = \log_{2} (2 \cdot 16 + 24 (- 4) + 72)$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $2$ في $16$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 + 24 (- 4) + 72)$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $24$ في $- 4$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 - 96 + 72)$

خطوة 3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $96$ من $32$ .

$f (- 4) = \log_{2} (- 64 + 72)$

خطوة 3.2.2.2

أضف $- 64$ و $72$ .

$f (- 4) = \log_{2} (8)$

خطوة 3.2.3

أساس اللوغاريتم $2$ لـ $8$ هو $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أعِد الكتابة في صورة معادلة.

$\log_{2} (8) = x$

خطوة 3.2.3.2

أعِد كتابة $\log_{2} (8) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b$ لا يساوي $1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 8$

خطوة 3.2.3.3

أنشئ عبارات متكافئة في المعادلة بحيث تكون جميعها ذات أساسات متساوية.

$2^{x} = 2^{3}$

خطوة 3.2.3.4

بما أن العددين متساويان في الأساس، تتساوى العبارتان فقط إذا تساوى الأُسان أيضًا.

$x = 3$

خطوة 3.2.3.5

المتغير $x$ يساوي $3$ .

$f (- 4) = 3$

خطوة 3.2.4

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 3.3

حوّل $3$ إلى رقم عشري.

$y = 3$

خطوة 4

أوجِد النقطة في $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = \log_{2} (2 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) + 72)$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (2 \cdot 4 + 24 (- 2) + 72)$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $2$ في $4$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 + 24 (- 2) + 72)$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $24$ في $- 2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 - 48 + 72)$

خطوة 4.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $48$ من $8$ .

$f (- 2) = \log_{2} (- 40 + 72)$

خطوة 4.2.2.2

أضف $- 40$ و $72$ .

$f (- 2) = \log_{2} (32)$

خطوة 4.2.3

أساس اللوغاريتم $2$ لـ $32$ هو $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أعِد الكتابة في صورة معادلة.

$\log_{2} (32) = x$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة $\log_{2} (32) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b$ لا يساوي $1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 32$

خطوة 4.2.3.3

أنشئ عبارات متكافئة في المعادلة بحيث تكون جميعها ذات أساسات متساوية.

$2^{x} = 2^{5}$

خطوة 4.2.3.4

بما أن العددين متساويان في الأساس، تتساوى العبارتان فقط إذا تساوى الأُسان أيضًا.

$x = 5$

خطوة 4.2.3.5

المتغير $x$ يساوي $5$ .

$f (- 2) = 5$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي $5$ .

$5$

خطوة 4.3

حوّل $5$ إلى رقم عشري.

$y = 5$

خطوة 5

يمكن تمثيل دالة اللوغاريتم بيانيًا باستخدام خط التقارب الرأسي عند $x = - 6$ والنقاط $(- 5, 1), (- 4, 3), (- 2, 5)$ .

خط التقارب الرأسي: $x = - 6$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 1 \\ - 4 & 3 \\ - 2 & 5 \end{array}$

خطوة 6