حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{1}{2} \cdot \cos (x - \frac{x}{π})$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 1 - \frac{1}{π}$

$c = 0$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $\frac{1}{2}$

خطوة 3

أوجِد فترة $\frac{\cos (x - \frac{x}{π})}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $1 - \frac{1}{π}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 - \frac{1}{π} |}$

خطوة 3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

$1 - \frac{1}{π}$ تساوي تقريبًا $0.68169011$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{1 - \frac{1}{π}}$

خطوة 3.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2 π}{\frac{π}{π} - \frac{1}{π}}$

خطوة 3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π}{\frac{π - 1}{π}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \frac{π}{π - 1}$

خطوة 3.5

اضرب $2 π \frac{π}{π - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اجمع $\frac{π}{π - 1}$ و $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{π - 1} π$

خطوة 3.5.2

اجمع $\frac{π \cdot 2}{π - 1}$ و $π$ .

$\frac{π \cdot 2 π}{π - 1}$

خطوة 3.5.3

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (π^{1} π)}{π - 1}$

خطوة 3.5.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (π^{1} π^{1})}{π - 1}$

خطوة 3.5.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 π^{1 + 1}}{π - 1}$

خطوة 3.5.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 π^{2}}{π - 1}$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{0}{1 - \frac{1}{π}}$

خطوة 4.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

إزاحة الطور: $\frac{0}{\frac{π}{π} - \frac{1}{π}}$

خطوة 4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{0}{\frac{π - 1}{π}}$

خطوة 4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $0 (\frac{π}{π - 1})$

خطوة 4.5

اضرب $0$ في $\frac{π}{π - 1}$ .

إزاحة الطور: $0$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $\frac{1}{2}$

الفترة: $\frac{2 π^{2}}{π - 1}$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{\cos ((0) - \frac{0}{π})}{2}$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

اقسِم $0$ على $π$ .

$f (0) = \frac{\cos (0 - 0)}{2}$

خطوة 6.1.2.1.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (0 + 0)}{2}$

خطوة 6.1.2.1.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (0)}{2}$

خطوة 6.1.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2}$

خطوة 6.1.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{π^{2}}{2 (π - 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}$ في العبارة.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos ((\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) - \frac{\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}}{π})}{2}$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

خطوة 6.2.2.1.1.2

اجمع.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π^{2} \cdot 1}{2 (π - 1) π})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $π^{2}$ و $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.3.1

أخرِج العامل $π$ من $π^{2} \cdot 1$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (π \cdot 1)}{2 (π - 1) π})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.3.2.1

أخرِج العامل $π$ من $2 (π - 1) π$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π \cdot 1}{2 (π - 1)})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.1.4

اضرب $π$ في $1$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π}{2 (π - 1)})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.2

احسِب قيمة $\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π}{2 (π - 1)})$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{0}{2}$

خطوة 6.2.2.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = 0$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{π^{2}}{π - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π^{2}}{π - 1}$ في العبارة.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos ((\frac{π^{2}}{π - 1}) - \frac{\frac{π^{2}}{π - 1}}{π})}{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - (\frac{π^{2}}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π^{2}$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - (\frac{π π}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - (\frac{π π}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - \frac{π}{π - 1})}{2}$

خطوة 6.3.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2} - π}{π - 1})}{2}$

خطوة 6.3.2.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{- \cos (0)}{2}$

خطوة 6.3.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2}$

خطوة 6.3.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos ((\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) - \frac{\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}}{π})}{2}$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

خطوة 6.4.2.1.1.2

اجمع.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π^{2} \cdot 1}{2 (π - 1) π})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $π^{2}$ و $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.3.1

أخرِج العامل $π$ من $3 π^{2} \cdot 1$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (3 π \cdot 1)}{2 (π - 1) π})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.3.2.1

أخرِج العامل $π$ من $2 (π - 1) π$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (3 π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (3 π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π \cdot 1}{2 (π - 1)})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π}{2 (π - 1)})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.2

احسِب قيمة $\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π}{2 (π - 1)})$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{0}{2}$

خطوة 6.4.2.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = 0$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{2 π^{2}}{π - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{2 π^{2}}{π - 1}$ في العبارة.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos ((\frac{2 π^{2}}{π - 1}) - \frac{\frac{2 π^{2}}{π - 1}}{π})}{2}$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - (\frac{2 π^{2}}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

خطوة 6.5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $2 π^{2}$ .

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - (\frac{π (2 π)}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

خطوة 6.5.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - (\frac{π (2 π)}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

خطوة 6.5.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - \frac{2 π}{π - 1})}{2}$

خطوة 6.5.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2} - 2 π}{π - 1})}{2}$

خطوة 6.5.2.1.3

احسِب قيمة $\cos (\frac{2 π^{2} - 2 π}{π - 1})$ .

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{π^{2}}{2 (π - 1)} & - 0 \\ \frac{π^{2}}{π - 1} & - \frac{1}{2} \\ \frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} & - 0 \\ \frac{2 π^{2}}{π - 1} & \frac{1}{2} \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $\frac{1}{2}$

الفترة: $\frac{2 π^{2}}{π - 1}$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 8