حساب المثلثات الأمثلة

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 < 0$

خطوة 1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ ومجموعهما $b = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \cos (3 x)$ .

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 = 0$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $5$ في صورة $- 1$ زائد $6$

$2 \cos^{2} (3 x) + (- 1 + 6) \cos (3 x) - 3 = 0$

خطوة 1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

خطوة 1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\cos (3 x) (2 \cos (3 x) - 1) + 3 (2 \cos (3 x) - 1) = 0$

خطوة 1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 \cos (3 x) - 1$ .

$(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

$\cos (3 x) + 3 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (3 x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $2 \cos (3 x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \cos (3 x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \cos (3 x) = 1$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (3 x) = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (3 x) = 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (3 x)$ على $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$3 x = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 3.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

خطوة 3.2.5

اقسِم كل حد في $3 x = \frac{π}{3}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اقسِم كل حد في $3 x = \frac{π}{3}$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

خطوة 3.2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

خطوة 3.2.5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

خطوة 3.2.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 3.2.5.3.2

اضرب $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.3.2.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

خطوة 3.2.5.3.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

خطوة 3.2.6

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$3 x = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 3.2.7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 3.2.7.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 3.2.7.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 3.2.7.1.4

اضرب $3$ في $2$ .

$3 x = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 3.2.7.1.5

اطرح $π$ من $6 π$ .

$3 x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 3.2.7.2

اقسِم كل حد في $3 x = \frac{5 π}{3}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = \frac{5 π}{3}$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

خطوة 3.2.7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

خطوة 3.2.7.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

خطوة 3.2.7.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 3.2.7.2.3.2

اضرب $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.3.2.1

اضرب $\frac{5 π}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 3}$

خطوة 3.2.7.2.3.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$x = \frac{5 π}{9}$

خطوة 3.2.8

أوجِد فترة $\cos (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.8.2

استبدِل $b$ بـ $3$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

خطوة 3.2.8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

خطوة 3.2.9

فترة دالة $\cos (3 x)$ هي $\frac{2 π}{3}$ ، لذا تتكرر القيم كل $\frac{2 π}{3}$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\cos (3 x) + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\cos (3 x) + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (3 x) + 3 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (3 x) + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$\cos (3 x) = - 3$

خطوة 4.2.2

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- 3$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$

خطوة 7

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1$

خطوة 7.1.2

استبدِل $x$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$2 \cos^{2} (3 (1)) + 5 \cos (3 (1)) - 3 < 0$

خطوة 7.1.3

الطرف الأيسر $- 5.98979219$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 7.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 7.2.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$2 \cos^{2} (3 (2)) + 5 \cos (3 (2)) - 3 < 0$

خطوة 7.2.3

الطرف الأيسر $3.64470539$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 7.3

اختبر قيمة في الفترة $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 7.3.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$2 \cos^{2} (3 (3)) + 5 \cos (3 (3)) - 3 < 0$

خطوة 7.3.3

الطرف الأيسر $- 5.8953346$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 7.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ صحيحة

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ خطأ

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ صحيحة

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ صحيحة

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ خطأ

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ صحيحة

خطوة 8

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ أو $\frac{7 π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{11 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9