حساب المثلثات الأمثلة

$16 x^{2} + 16 y^{2} - 8 x - 32 y = 127$

خطوة 1

اقسِم كلا المتعادلين على $16$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{x}{2} - 2 y = \frac{127}{16}$

خطوة 2

أكمل المربع لـ $x^{2} - \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = 0$

خطوة 2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 1$ و $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

خطوة 2.3.2.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{1}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.3.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$d = - \frac{1}{4}$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.1.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.1.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.1.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.1.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.1.1.6

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

خطوة 2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

خطوة 2.4.2.1.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

خطوة 2.4.2.1.4

اضرب $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.4.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

خطوة 2.4.2.1.4.2

اضرب $4$ في $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

خطوة 2.4.2.2

اطرح $\frac{1}{16}$ من $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

خطوة 2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

خطوة 3

استبدِل $x^{2} - \frac{x}{2}$ بـ ${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ في المعادلة $x^{2} + y^{2} - \frac{x}{2} - 2 y = \frac{127}{16}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + y^{2} - 2 y = \frac{127}{16}$

خطوة 4

انقُل $- \frac{1}{16}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $\frac{1}{16}$ إلى كلا الطرفين.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + y^{2} - 2 y = \frac{127}{16} + \frac{1}{16}$

خطوة 5

أكمل المربع لـ $y^{2} - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

خطوة 5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

خطوة 5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 1}{1}$

خطوة 5.3.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$d = - 1$

خطوة 5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 5.4.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 5.4.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e = 0 - 1$

خطوة 5.4.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$e = - 1$

خطوة 5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

خطوة 6

استبدِل $y^{2} - 2 y$ بـ ${(y - 1)}^{2} - 1$ في المعادلة $x^{2} + y^{2} - \frac{x}{2} - 2 y = \frac{127}{16}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = \frac{127}{16} + \frac{1}{16}$

خطوة 7

انقُل $- 1$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $1$ إلى كلا الطرفين.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{127}{16} + \frac{1}{16} + 1$

خطوة 8

بسّط $\frac{127}{16} + \frac{1}{16} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 + \frac{127 + 1}{16}$

خطوة 8.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أضف $127$ و $1$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 + \frac{128}{16}$

خطوة 8.2.2

اقسِم $128$ على $16$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 + 8$

خطوة 8.2.3

أضف $1$ و $8$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$

خطوة 9

هذه الصيغة هي صيغة الدائرة. استخدِم هذه الصيغة لتحديد مركز الدائرة ونصف قطرها.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

خطوة 10

طابِق القيم الموجودة في هذه الدائرة بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $r$ نصف قطر الدائرة، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$r = 3$

$h = \frac{1}{4}$

$k = 1$

خطوة 11

تم إيجاد مركز الدائرة عند $(h, k)$ .

المركز: $(\frac{1}{4}, 1)$

خطوة 12

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل الدائرة بيانيًا وتحليلها.

المركز: $(\frac{1}{4}, 1)$

نصف القطر: $3$

خطوة 13