حساب المثلثات الأمثلة

$2 \sin^{2} (x) > 3 \cos (x)$

خطوة 1

اطرح $3 \cos (x)$ من كلا طرفي المتباينة.

$2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) > 0$

خطوة 2

استبدِل $2 \sin^{2} (x)$ بـ $2 (1 - \cos^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

خطوة 3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) = 0$

خطوة 4

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 2 = 0$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\cos (x)$ التي تساوي $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u + 2 = 0$

خطوة 6

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 u^{2} - 3 u + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - 3 u + 2 = 0$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 u$ .

$- (2 u^{2}) - (3 u) + 2 = 0$

خطوة 6.1.3

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$- (2 u^{2}) - (3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

خطوة 6.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 u^{2}) - (3 u)$ .

$- (2 u^{2} + 3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

خطوة 6.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 u^{2} + 3 u) - 1 (- 2)$ .

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

خطوة 6.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ ومجموعهما $b = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 u$ .

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

خطوة 6.2.1.1.2

أعِد كتابة $3$ في صورة $- 1$ زائد $4$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2) = 0$

خطوة 6.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

خطوة 6.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

خطوة 6.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- (u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)) = 0$

خطوة 6.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 2)) = 0$

خطوة 6.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (2 u - 1) (u + 2) = 0$

خطوة 7

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

خطوة 8

عيّن قيمة العبارة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن قيمة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u - 1 = 0$

خطوة 8.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u = 1$

خطوة 8.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 8.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 8.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

خطوة 9

عيّن قيمة العبارة $u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة $u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 2 = 0$

خطوة 9.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$u = - 2$

خطوة 10

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (2 u - 1) (u + 2) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

خطوة 11

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 2$

خطوة 12

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 2$

خطوة 13

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 13.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 13.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 13.4

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 13.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 13.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 13.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 13.4.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 13.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 13.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 13.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 13.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 13.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- 2$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 15

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 16

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

خطوة 17

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 17.1.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$2 \sin^{2} (3) > 3 \cos (3)$

خطوة 17.1.3

الطرف الأيسر $0.03982971$ أكبر من الطرف الأيمن $- 2.96997748$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 17.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 17.2.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$2 \sin^{2} (6) > 3 \cos (6)$

خطوة 17.2.3

الطرف الأيسر $0.15614604$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $2.88051085$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 17.3

اختبر قيمة في الفترة $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 9$

خطوة 17.3.2

استبدِل $x$ بـ $9$ في المتباينة الأصلية.

$2 \sin^{2} (9) > 3 \cos (9)$

خطوة 17.3.3

الطرف الأيسر $0.33968329$ أكبر من الطرف الأيمن $- 2.73339078$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 17.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ صحيحة

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ خطأ

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ صحيحة

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ صحيحة

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ خطأ

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ صحيحة

خطوة 18

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{π}{3} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ أو $\frac{7 π}{3} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 19