حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (x) < 2 \sin (x)$

خطوة 1

اقسِم كل حد في $\tan (x) < 2 \sin (x)$ على $\tan (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $\tan (x) < 2 \sin (x)$ على $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

خطوة 1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

خطوة 1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

افصِل الكسور.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

خطوة 1.3.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 < \frac{2}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 1.3.4

اكتب $\sin (x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 1.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 1.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 < \frac{2}{1} \cos (x)$

خطوة 1.3.6

اقسِم $2$ على $1$ .

$1 < 2 \cos (x)$

خطوة 2

أعِد الكتابة بحيث تصبح $\cos (x)$ في الطرف الأيسر للمتباينة.

$2 \cos (x) > 1$

خطوة 3

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) > 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) > 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) > \frac{1}{2}$

خطوة 4

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x > \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x > \frac{π}{3}$

خطوة 6

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 7

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 7.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 7.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 8

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 8.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 8.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 9

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

أوجِد نطاق $\tan (x) - 2 \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\tan (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $\frac{π}{2} + π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$

خطوة 12

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1.31$

خطوة 12.1.2

استبدِل $x$ بـ $1.31$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (1.31) < 2 \sin (1.31)$

خطوة 12.1.3

الطرف الأيسر $3.74708097$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $1.9323699$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 12.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 12.2.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (3) < 2 \sin (3)$

خطوة 12.2.3

الطرف الأيسر $- 0.14254654$ أصغر من الطرف الأيمن $0.28224001$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 12.3

اختبر قيمة في الفترة $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 5$

خطوة 12.3.2

استبدِل $x$ بـ $5$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (5) < 2 \sin (5)$

خطوة 12.3.3

الطرف الأيسر $- 3.380515$ أصغر من الطرف الأيمن $- 1.91784854$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 12.4

اختبر قيمة في الفترة $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 12.4.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (6) < 2 \sin (6)$

خطوة 12.4.3

الطرف الأيسر $- 0.29100619$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 0.55883099$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 12.5

اختبر قيمة في الفترة $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 7.59$

خطوة 12.5.2

استبدِل $x$ بـ $7.59$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (7.59) < 2 \sin (7.59)$

خطوة 12.5.3

الطرف الأيسر $3.69973691$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $1.93071743$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 12.6

اختبر قيمة في الفترة $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 9$

خطوة 12.6.2

استبدِل $x$ بـ $9$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (9) < 2 \sin (9)$

خطوة 12.6.3

الطرف الأيسر $- 0.45231565$ أصغر من الطرف الأيمن $0.82423697$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 12.7

اختبر قيمة في الفترة $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.7.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 11$

خطوة 12.7.2

استبدِل $x$ بـ $11$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (11) < 2 \sin (11)$

خطوة 12.7.3

الطرف الأيسر $- 225.95084645$ أصغر من الطرف الأيمن $- 1.99998041$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 12.8

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ خطأ

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ صحيحة

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ صحيحة

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ خطأ

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ خطأ

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ صحيحة

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ صحيحة

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ خطأ

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ صحيحة

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ صحيحة

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ خطأ

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ خطأ

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ صحيحة

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ صحيحة

خطوة 13

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

خطوة 14

اجمع الفترات.

$\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n or \frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n or \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n or \frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 15