حساب المثلثات الأمثلة

$y = 2 \cos (π x - 3) + 3$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = 2$

$b = π$

$c = 3$

$d = 3$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $2$

خطوة 3

أوجِد الفترة باستخدام القاعدة $\frac{2 π}{| b |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد فترة $2 \cos (π x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.1.2

استبدِل $b$ بـ $π$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| π |}$

خطوة 3.1.3

$π$ تساوي تقريبًا $3.14159265$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{π}$

خطوة 3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{π}$

خطوة 3.1.4.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$

خطوة 3.2

أوجِد فترة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.2

استبدِل $b$ بـ $π$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| π |}$

خطوة 3.2.3

$π$ تساوي تقريبًا $3.14159265$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{π}$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{π}$

خطوة 3.2.4.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$

خطوة 3.3

فترة جمع أو طرح الدوال المثلثية هي القيمة القصوى للفترات الفردية.

$2$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{3}{π}$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $2$

الفترة: $2$

إزاحة الطور: $\frac{3}{π}$ ( $\frac{3}{π}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: $3$

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = \frac{3}{π}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{π}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{π}) = 2 \cos (π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{π}) = 2 \cos (π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.1.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{π}) = 2 \cos (3 - 3) + 3$

خطوة 6.1.2.1.2

اطرح $3$ من $3$ .

$f (\frac{3}{π}) = 2 \cos (0) + 3$

خطوة 6.1.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{3}{π}) = 2 \cdot 1 + 3$

خطوة 6.1.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{3}{π}) = 2 + 3$

خطوة 6.1.2.2

أضف $2$ و $3$ .

$f (\frac{3}{π}) = 5$

خطوة 6.1.2.3

الإجابة النهائية هي $5$ .

$5$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{1}{2} + \frac{3}{π}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2} + \frac{3}{π}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π (\frac{1}{2}) + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.2.2.1.1.2

اجمع $π$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π}{2} + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.2.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π}{2} + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.2.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π}{2} + 3 - 3) + 3$

خطوة 6.2.2.1.2

اطرح $3$ من $3$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π}{2} + 0) + 3$

خطوة 6.2.2.1.3

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π}{2}) + 3$

خطوة 6.2.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cdot 0 + 3$

خطوة 6.2.2.1.5

اضرب $2$ في $0$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 0 + 3$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0$ و $3$ .

$f (\frac{1}{2} + \frac{3}{π}) = 3$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = 1 + \frac{3}{π}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1 + \frac{3}{π}$ في العبارة.

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π (1 + \frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π \cdot 1 + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.3.2.1.1.2

اضرب $π$ في $1$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.3.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.3.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π + 3 - 3) + 3$

خطوة 6.3.2.1.2

اطرح $3$ من $3$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π + 0) + 3$

خطوة 6.3.2.1.3

أضف $π$ و $0$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π) + 3$

خطوة 6.3.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 (- \cos (0)) + 3$

خطوة 6.3.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 (- 1 \cdot 1) + 3$

خطوة 6.3.2.1.6

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 2 \cdot - 1 + 3$

خطوة 6.3.2.1.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = - 2 + 3$

خطوة 6.3.2.2

أضف $- 2$ و $3$ .

$f (1 + \frac{3}{π}) = 1$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{3}{2} + \frac{3}{π}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{2} + \frac{3}{π}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π (\frac{3}{2}) + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.4.2.1.1.2

اجمع $π$ و $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.4.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.4.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + 3 - 3) + 3$

خطوة 6.4.2.1.1.4

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} + 3 - 3) + 3$

خطوة 6.4.2.1.2

اطرح $3$ من $3$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} + 0) + 3$

خطوة 6.4.2.1.3

أضف $\frac{3 π}{2}$ و $0$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2}) + 3$

خطوة 6.4.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cos (\frac{π}{2}) + 3$

خطوة 6.4.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 2 \cdot 0 + 3$

خطوة 6.4.2.1.6

اضرب $2$ في $0$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 0 + 3$

خطوة 6.4.2.2

أضف $0$ و $3$ .

$f (\frac{3}{2} + \frac{3}{π}) = 3$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = 2 + \frac{3}{π}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2 + \frac{3}{π}$ في العبارة.

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π (2 + \frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (π \cdot 2 + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.5.2.1.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (2 \cdot π + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.5.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (2 \cdot π + π (\frac{3}{π}) - 3) + 3$

خطوة 6.5.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (2 \cdot π + 3 - 3) + 3$

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (2 π + 3 - 3) + 3$

خطوة 6.5.2.1.2

اطرح $3$ من $3$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (2 π + 0) + 3$

خطوة 6.5.2.1.3

أضف $2 π$ و $0$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (2 π) + 3$

خطوة 6.5.2.1.4

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cos (0) + 3$

خطوة 6.5.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 \cdot 1 + 3$

خطوة 6.5.2.1.6

اضرب $2$ في $1$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 2 + 3$

خطوة 6.5.2.2

أضف $2$ و $3$ .

$f (2 + \frac{3}{π}) = 5$

خطوة 6.5.2.3

الإجابة النهائية هي $5$ .

$5$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{3}{π} & 5 \\ \frac{1}{2} + \frac{3}{π} & 3 \\ 1 + \frac{3}{π} & 1 \\ \frac{3}{2} + \frac{3}{π} & 3 \\ 2 + \frac{3}{π} & 5 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $2$

الفترة: $2$

إزاحة الطور: $\frac{3}{π}$ ( $\frac{3}{π}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: $3$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{3}{π} & 5 \\ \frac{1}{2} + \frac{3}{π} & 3 \\ 1 + \frac{3}{π} & 1 \\ \frac{3}{2} + \frac{3}{π} & 3 \\ 2 + \frac{3}{π} & 5 \end{array}$

خطوة 8