حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (2 θ) = - 1$

خطوة 1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$2 θ = \arctan (- 1)$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$2 θ = - \frac{π}{4}$

خطوة 3

اقسِم كل حد في $2 θ = - \frac{π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 θ = - \frac{π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

خطوة 3.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.3.2

اضرب $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$θ = - \frac{π}{8}$

خطوة 4

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$2 θ = - \frac{π}{4} - π$

خطوة 5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{4} - π$ .

$2 θ = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

خطوة 5.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{4} - π$ .

$2 θ = \frac{3 π}{4}$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $2 θ = \frac{3 π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $2 θ = \frac{3 π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.2

اضرب $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

اضرب $\frac{3 π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

خطوة 5.3.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$θ = \frac{3 π}{8}$

خطوة 6

أوجِد فترة $\tan (2 θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 2 |}$

خطوة 6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{π}{2}$

خطوة 7

اجمع $\frac{π}{2}$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{π}{2}$ مع $- \frac{π}{8}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{8} + \frac{π}{2}$

خطوة 7.2

لكتابة $\frac{π}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8}$

خطوة 7.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π}{8}$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{8} - \frac{π}{8}$

خطوة 7.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 4 - π}{8}$

خطوة 7.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{8}$

خطوة 7.5.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{8}$

خطوة 7.6

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = \frac{3 π}{8}$

خطوة 8

فترة دالة $\tan (2 θ)$ هي $\frac{π}{2}$ ، لذا تتكرر القيم كل $\frac{π}{2}$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

وحّد الإجابات.

$θ = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$