حساب المثلثات الأمثلة

2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لنفترض أن

u = \sin (x)

$u = \sin (x)$ . استبدِل

u

$u$ بجميع حالات حدوث

\sin (x)

$\sin (x)$ .

2 u^{2} - u = 0

$2 u^{2} - u = 0$

خطوة 1.2

أخرِج العامل

u

$u$ من

2 u^{2} - u

$2 u^{2} - u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل

u

$u$ من

2 u^{2}

$2 u^{2}$ .

u (2 u) - u = 0

$u (2 u) - u = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل

u

$u$ من

- u

$- u$ .

u (2 u) + u \cdot - 1 = 0

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل

u

$u$ من

u (2 u) + u \cdot - 1

$u (2 u) + u \cdot - 1$ .

u (2 u - 1) = 0

$u (2 u - 1) = 0$

u (2 u - 1) = 0

$u (2 u - 1) = 0$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث

u

$u$ بـ

\sin (x)

$\sin (x)$ .

\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$

\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي

0

$0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي

0

$0$ .

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

2 \sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة

\sin (x)

$\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ وأوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة

\sin (x)

$\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة

x

$x$ في

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج

x

$x$ من داخل الجيب.

x = \arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ

\arcsin (0)

$\arcsin (0)$ هي

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

خطوة 3.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من

π

$π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

x = π - 0

$x = π - 0$

خطوة 3.2.4

اطرح

0

$0$ من

π

$π$ .

x = π

$x = π$

خطوة 3.2.5

أوجِد فترة

\sin (x)

$\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.5.2

استبدِل

b

$b$ بـ

1

$1$ في القاعدة للفترة.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين

0

$0$ و

1

$1$ تساوي

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.2.5.4

اقسِم

2 π

$2 π$ على

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

خطوة 3.2.6

فترة دالة

\sin (x)

$\sin (x)$ هي

2 π

$2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل

2 π

$2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة

2 \sin (x) - 1

$2 \sin (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ وأوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة

2 \sin (x) - 1

$2 \sin (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

2 \sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة

x

$x$ في

2 \sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف

1

$1$ إلى كلا المتعادلين.

2 \sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في

2 \sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$ على

2

$2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في

2 \sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$ على

2

$2$ .

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

2

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم

\sin (x)

$\sin (x)$ على

1

$1$ .

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج

x

$x$ من داخل الجيب.

x = \arcsin (\frac{1}{2})

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ

\arcsin (\frac{1}{2})

$\arcsin (\frac{1}{2})$ هي

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

خطوة 4.2.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من

π

$π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

x = π - \frac{π}{6}

$x = π - \frac{π}{6}$

خطوة 4.2.6

بسّط

π - \frac{π}{6}

$π - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

لكتابة

π

$π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 4.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

اجمع

π

$π$ و

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 4.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 4.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.3.1

انقُل

6

$6$ إلى يسار

π

$π$ .

x = \frac{6 \cdot π - π}{6}

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 4.2.6.3.2

اطرح

π

$π$ من

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

خطوة 4.2.7

أوجِد فترة

\sin (x)

$\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.2

استبدِل

b

$b$ بـ

1

$1$ في القاعدة للفترة.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين

0

$0$ و

1

$1$ تساوي

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.7.4

اقسِم

2 π

$2 π$ على

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

خطوة 4.2.8

فترة دالة

\sin (x)

$\sin (x)$ هي

2 π

$2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل

2 π

$2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة

\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$ صحيحة.

x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

خطوة 6

ادمج

2 π n

$2 π n$ و

π + 2 π n

$π + 2 π n$ في

π n

$π n$ .

x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$