حساب المثلثات الأمثلة

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\cot^{4} (x)$ بالصيغة ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

خطوة 1.2

لنفترض أن $u = \cot^{2} (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cot^{2} (x)$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

خطوة 1.3

حلّل $u^{2} - 4 u + 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $3$ ومجموعهما $- 4$ .

$- 3, - 1$

خطوة 1.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

خطوة 1.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cot^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\cot^{2} (x) - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\cot^{2} (x) - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cot^{2} (x) - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$\cot^{2} (x) = 3$

خطوة 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

خطوة 3.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

خطوة 3.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

خطوة 3.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 3.2.4

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

خطوة 3.2.5

أوجِد قيمة $x$ في $\cot (x) = \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

خُذ ظل التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل ظل التمام.

$x = arccot (\sqrt{3})$

خطوة 3.2.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccot (\sqrt{3})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

خطوة 3.2.5.3

دالة ظل التمام موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{6}$

خطوة 3.2.5.4

بسّط $π + \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

خطوة 3.2.5.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

خطوة 3.2.5.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

خطوة 3.2.5.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.4.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

خطوة 3.2.5.4.3.2

أضف $6 π$ و $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

خطوة 3.2.5.5

أوجِد فترة $\cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 3.2.5.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.5.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 3.2.5.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.2.5.6

فترة دالة $\cot (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.2.6

أوجِد قيمة $x$ في $\cot (x) = - \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

خُذ ظل التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل ظل التمام.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

خطوة 3.2.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccot (- \sqrt{3})$ هي $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

خطوة 3.2.6.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

خطوة 3.2.6.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.4.1

أضف $2 π$ إلى $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

خطوة 3.2.6.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{11 π}{6}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

خطوة 3.2.6.5

أوجِد فترة $\cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 3.2.6.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.6.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 3.2.6.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.2.6.6

فترة دالة $\cot (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.2.7

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.2.8

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

ادمج $\frac{π}{6} + π n$ و $\frac{7 π}{6} + π n$ في $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.2.8.2

ادمج $\frac{5 π}{6} + π n$ و $\frac{11 π}{6} + π n$ في $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\cot^{2} (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\cot^{2} (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cot^{2} (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\cot^{2} (x) = 1$

خطوة 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

خطوة 4.2.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\cot (x) = \pm 1$

خطوة 4.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\cot (x) = 1$

خطوة 4.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\cot (x) = - 1$

خطوة 4.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\cot (x) = 1, - 1$

خطوة 4.2.5

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

خطوة 4.2.6

أوجِد قيمة $x$ في $\cot (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

خُذ ظل التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل ظل التمام.

$x = arccot (1)$

خطوة 4.2.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccot (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.6.3

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.6.4

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.6.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.6.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 4.2.6.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.4.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 4.2.6.4.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 4.2.6.5

أوجِد فترة $\cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 4.2.6.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.6.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 4.2.6.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 4.2.6.6

فترة دالة $\cot (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.7

أوجِد قيمة $x$ في $\cot (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

خُذ ظل التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل ظل التمام.

$x = arccot (- 1)$

خطوة 4.2.7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccot (- 1)$ هي $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 4.2.7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

خطوة 4.2.7.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.4.1

أضف $2 π$ إلى $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

خطوة 4.2.7.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

خطوة 4.2.7.5

أوجِد فترة $\cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 4.2.7.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 4.2.7.6

فترة دالة $\cot (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.8

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.9

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$